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Etudier la position de la courbe par rapport à une tangente

Pour étudier la position de la courbe par rapport à une tangente T d'équation \(\displaystyle{y=ax+b}\), on détermine le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right)}\).

On considère la fonction f définie pour tout \(\displaystyle{x\in \mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2}\)

On appelle \(\displaystyle{C_f}\) sa courbe représentative et T celle de sa tangente au point d'abscisse \(\displaystyle{x= 0,5}\).

Etudier la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et de T.

Etape 1

Déterminer une équation de la tangente

Si f est dérivable en a, la tangente \(\displaystyle{T_a}\) à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a a pour équation :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)}\)

On calcule les valeurs de \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) et de \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) afin de déterminer une équation de \(\displaystyle{T_a}\) .

La fonction carré est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), et donc en 0,5. La tangente T à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse \(\displaystyle{x=0,5}\) a pour équation :

\(\displaystyle{y=f'\left(0,5\right)\left(x-0,5\right)+f\left(0,5\right)}\)

On calcule les valeurs de \(\displaystyle{f'\left(0,5\right)}\) et de \(\displaystyle{f\left(0,5\right)}\) :

  • \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = 2x}\) donc \(\displaystyle{f'\left(0,5\right) = 2\times 0,5 = 1}\)
  • \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2}\) donc \(\displaystyle{f\left(0,5\right) = 0,5^2 = 0,25}\)

On en déduit que T admet pour équation :

\(\displaystyle{y=1\left(x-0,5\right)+0,25}\)

Finalement, T admet pour équation :

\(\displaystyle{y=x-0,25}\)

Etape 2

Réciter le cours

Afin d'étudier la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et de \(\displaystyle{T}\) d'équation \(\displaystyle{y=ax+b}\) sur un intervalle \(\displaystyle{I}\), il faut étudier le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right)}\) sur \(\displaystyle{I}\).

Afin d'étudier la position relative de \(\displaystyle{Cf}\) et de T sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), on étudie le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(x-0,25\right)}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 3

Calculer et simplifier \(\displaystyle{f\left(x\right)-\left(ax+b\right)}\)

On calcule \(\displaystyle{f\left(x\right)-\left(ax+b\right)}\) et on simplifie son expression afin d'obtenir une forme dont on sait déterminer le signe.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x\right) - \left(x-0,25\right) = x^2 - \left(x-0,25\right)}\)

Ainsi, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x\right) - \left(x-0,25\right) = x^2 - x+0,25}\)

Etape 4

Etudier le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)-\left(ax+b\right)}\)

On détermine le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)-\left(ax+b\right)}\). Sauf si le résultat est très simple, on récapitule le résultat dans un tableau de signes.

On reconnaît un trinôme du second degré.

On calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) :

\(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac= \left(-1\right)^2 -4\times 1 \times 0,25 =1-1 = 0}\)

\(\displaystyle{\Delta = 0}\) donc le trinôme est du signe de a (positif) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et nul au niveau de la racine.

On détermine l'unique racine :

  • \(\displaystyle{x_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{1}{2\times1}= \dfrac{1}{2}}\)

On en déduit que :

  • \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(x-0,25\right) \gt 0}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ \dfrac{1}{2} \right\}}\)
  • \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(x-0,25\right) =0}\) pour \(\displaystyle{x = \dfrac{1}{2}}\)
Etape 5

Conclure

On distingue 3 cas :

  • \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \gt 0}\) sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{C_f}\) est au-dessus de T sur \(\displaystyle{I}\).
  • \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \lt 0}\) sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de T sur \(\displaystyle{I}\).
  • \(\displaystyle{f\left(x\right) -\left(ax+b\right) = 0}\), alors \(\displaystyle{C_f}\) et T sont sécantes au(x) point(s) d'abscisse(s) la (ou les) solution(s) de l'équation.

Ainsi :

  • \(\displaystyle{C_f}\) est au-dessus de T sur \(\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ \dfrac{1}{2} \right\}}\)
  • \(\displaystyle{C_f}\) et T sont sécantes au point d'abscisse \(\displaystyle{x = \dfrac{1}{2}}\)