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Expliciter une fonction définie par deux valeurs absolues et tracer sa courbe représentative

En présence d'une fonction présentant deux valeurs absolues, afin de l'étudier ou de tracer sa courbe représentative, il faut pouvoir enlever les barres des valeurs absolues.

Soit la fonction, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =\left| x-4 \right| \times \left| 5-2x \right|}\)

Exprimer \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) sans valeur absolue.

Etape 1

Identifier l'opération entre les deux valeurs absolues

La fonction f peut être la somme, le produit ou le quotient de deux valeurs absolues.

On remarque que la fonction f s'exprime comme étant le produit de deux valeurs absolues.

Si la fonction f s'exprime comme le quotient de deux valeurs absolues, on pensera bien à déterminer l'ensemble de définition de f.

Etape 2

Écrire la première expression sans les valeurs absolues

On écrit la première expression sans les valeurs absolues en utilisant la formule du cours :

\(\displaystyle{\left| u\left(x\right) \right| =\begin{cases} u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \geq 0\cr \cr -u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \lt 0 \end{cases}}\)

On résout les inéquations \(\displaystyle{u\left(x\right) \geq 0}\) et \(\displaystyle{u\left(x\right) \lt 0}\).

D'après le cours, on a :

\(\displaystyle{\left| x-4 \right| =\begin{cases} x-4 \;\; si \; x-4 \geq 0\cr \cr -x+4 \;\; si \; x-4 \lt 0 \end{cases}}\)

Donc :

\(\displaystyle{\left| x-4 \right| =\begin{cases} x-4 \;\; si \; x \geq 4\cr \cr -x+4 \;\; si \; x \lt 4 \end{cases}}\)

Etape 3

Écrire la deuxième expression sans les valeurs absolues

On écrit la deuxième expression sans les valeurs absolues en utilisant la formule du cours :

\(\displaystyle{\left| v\left(x\right) \right| =\begin{cases} v\left(x\right) \;\; si \; v\left(x\right) \geq 0\cr \cr -v\left(x\right) \;\; si \; v\left(x\right) \lt 0 \end{cases}}\)

On résout \(\displaystyle{v\left(x\right) \geq 0}\) et \(\displaystyle{v\left(x\right) \lt 0}\).

D'après le cours, on a :

\(\displaystyle{\left| 5-2x \right| =\begin{cases} 5-2x\;\; si \; 5-2x \geq 0\cr \cr -5+2x \;\; si \; 5-2x \lt 0 \end{cases}}\)

Donc :

\(\displaystyle{\left| 5-2x \right| =\begin{cases} 5-2x\;\; si \; x \leq \dfrac{5}{2}\cr \cr -5+2x \;\; si \;x \gt \dfrac{5}{2} \end{cases}}\)

Etape 4

Résumer les résultats dans un tableau

Pour exprimer \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) sans valeur absolue, on reporte dans un tableau les expressions de \(\displaystyle{\left| u\left(x\right) \right|}\) et de \(\displaystyle{\left| v\left(x\right) \right|}\).

On applique ensuite l'opération existante entre les deux valeurs absolues (somme, produit ou quotient) afin d'obtenir l'expression de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) suivant les valeurs de x.

On reporte dans un tableau les expressions de \(\displaystyle{\left| x-4 \right|}\) et de \(\displaystyle{\left| 5-2x \right|}\).

On effectue ensuite le produit de chaque colonne que l'on reporte dans la dernière ligne. On obtient :

-

On en déduit que :

  • \(\displaystyle{\forall x \in \left] -\infty ; \dfrac{5}{2} \right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \left(-x+4\right)\left(5-2x\right) \Leftrightarrow f\left(x\right) = 2x^2-13x+20}\)
  • \(\displaystyle{\forall x \in \left[\dfrac{5}{2}; 4\right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \left(-x+4\right)\left(-5+2x\right) \Leftrightarrow f\left(x\right) =- 2x^2+13x-20}\)
  • \(\displaystyle{\forall x \in \left[ 4;+\infty \right[}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \left(x-4\right)\left(-5+2x\right) \Leftrightarrow f\left(x\right) = 2x^2-13x+20}\)

Finalement :

  • \(\displaystyle{\forall x \in \left] -\infty ; \dfrac{5}{2} \right] \cup \left[4;+ \infty \right[}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = 2x^2-13x+20}\)
  • \(\displaystyle{\forall x \in \left[\dfrac{5}{2}; 4\right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = -2x^2+13x-20}\)
Etape 5

Tracer la courbe représentative de la fonction

Sur un même graphique, on effectue le tracé correspondant à l'expression de la fonction sur chaque intervalle.

Ici, on trace la courbe représentative de f en deux étapes :

  • Sur \(\displaystyle{\left] -\infty ; \dfrac{5}{2} \right] \cup \left[4;+ \infty \right[}\), on trace la courbe représentative de \(\displaystyle{f\left(x\right) = 2x^2-13x+20}\).
  • Sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{5}{2}; 4\right]}\), on trace la courbe représentative de \(\displaystyle{f\left(x\right) = -2x^2+13x-20}\).

On obtient :

-