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Montrer qu'une équation du type f(x)=k admet une unique solution Méthode

En utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (c'est-à-dire le théorème appliqué au cas des fonctions strictement monotones), on peut montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle.

Montrer que l'équation \(\displaystyle{x^3-2x+1=0}\) admet une unique solution sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; -1 \right]}\).

Etape 1

Se ramener à une équation du type \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\)

On détermine une fonction f telle que l'équation soit équivalente à l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = k}\).

On pose :

\(\displaystyle{\forall x \in \left] -\infty ;-1 \right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^3-2x+1}\)

On cherche à montrer que l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) admet une unique solution sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\).

Etape 2

Dresser le tableau de variations de f

Si l'on cherche à démontrer que l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = k}\) admet une solution unique sur I, on dresse le tableau de variations de f sur I.

On étudie les variations de f au préalable, si cela n'a pas été fait dans les questions précédentes.

On étudie la fonction f sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\) :

f est dérivable sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\) en tant que restriction d'une fonction polynôme et :

\(\displaystyle{\forall x \in \left] -\infty ;-1 \right]}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = 3x^2-2}\)

On étudie le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\). Pour cela, on résout l'inéquation \(\displaystyle{f'\left(x\right) \gt 0}\). Pour tout réel x :

\(\displaystyle{3x^2-2\gt 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x^2 \gt \dfrac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x \gt \sqrt {\dfrac{2}{3}}}\) ou \(\displaystyle{x \lt -\sqrt {\dfrac{2}{3}}}\)

On en déduit, comme \(\displaystyle{-1 \lt -\sqrt{\dfrac{2}{3}}}\), que \(\displaystyle{f'\left(x\right) \gt 0}\) sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\). Ainsi, f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\).

De plus, on a :

  • \(\displaystyle{\lim_{x \to- \infty}\left(x^3-2x+1\right)= \lim_{x \to- \infty}x^3\left(1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)=-\infty}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to- 1}\left(x^3-2x+1\right)= \left(-1\right)^3-2\times \left(-1\right) +1=2}\)

On dresse alors le tableau de variations de f :

-
Etape 3

Utiliser corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

On récite les hypothèses :

  • f est continue sur I.
  • f est strictement monotone sur I.
  • Soit J l'intervalle image de I par f, on vérifie que \(\displaystyle{k \in J}\).

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = k}\) admet une solution unique sur I.

Sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\) :

  • f est continue.
  • f est strictement monotone
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to- \infty} f\left(x\right) = -\infty}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to- 1}f\left(x\right)=2}\). On a bien \(\displaystyle{0\in\left] -\infty ;2 \right]}\).

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) admet une solution unique sur \(\displaystyle{\left] -\infty ;-1 \right]}\).