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Montrer qu'une suite est géométrique

Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on peut avant tout montrer que la suite est géométrique et déterminer sa raison.

On considère la suite \(\displaystyle{\left( v_n \right)}\) définie par \(\displaystyle{v_0=2}\) et, pour tout entier naturel n, par :

\(\displaystyle{v_{n+1}=4v_n+1}\)

On s'intéresse alors à la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) définie pour tout entier naturel n par :

\(\displaystyle{u_n=v_n+\dfrac13}\)

Montrer que la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est géométrique et déterminer sa raison.

Etape 1

Exprimer \(\displaystyle{u_{n+1}}\) en fonction de \(\displaystyle{u_n}\)

Pour tout entier naturel n, on factorise l'expression donnant \(\displaystyle{u_{n+1}}\) de manière à faire apparaître \(\displaystyle{u_n}\), en simplifiant au maximum le facteur que multiplie \(\displaystyle{u_n}\).

Soit n un entier naturel :

\(\displaystyle{u_{n+1}=v_{n+1}+\dfrac{1}{3}}\).

On remplace \(\displaystyle{v_{n+1}}\) par son expression en fonction de \(\displaystyle{v_n}\) :

\(\displaystyle{u_{n+1}=4v_{n}+1+\dfrac{1}{3}}\)

On remplace \(\displaystyle{v_{n}}\) par son expression en fonction de \(\displaystyle{u_n}\) :

\(\displaystyle{u_{n+1}=4\left(u_{n}-\dfrac13\right)+1+\dfrac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}=4u_{n}-\dfrac43+\dfrac33+\dfrac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}=4u_{n}}\)

Etape 2

Identifier l'éventuelle raison de la suite

On vérifie qu'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n+1}=q\times u_n}\).

En posant \(\displaystyle{q=4}\), on a bien, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n+1}=qu_{n}}\).

Etape 3

Conclure sur la nature de la suite

S'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n+1}=q\times u_n}\), on peut conclure que la suite est géométrique de raison q. On précise alors son premier terme.

La suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est donc une suite géométrique de raison 4. Son premier terme vaut :

\(\displaystyle{u_0=v_0+\dfrac13=2+\dfrac13=\dfrac73}\)