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Montrer que trois points définissent un plan

Trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

Soient les points \(\displaystyle{A\left(1;-2;0\right)}\), \(\displaystyle{B\left(3;4;0\right)}\) et \(\displaystyle{C\left(3;1;5\right)}\).

Déterminer si les points A, B et C définissent un plan.

Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle que trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

Les trois points A, B et C définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.

Etape 2

En déduire une condition sur la colinéarité

On en déduit que les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) ne sont pas colinéaires.

Ainsi, les points A, B et C définissent un plan si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) ne sont pas colinéaires.

Etape 3

Donner les coordonnées des vecteurs

On calcule les coordonnées des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\).

On calcule les coordonnées des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \cr\cr y_B-y_A \cr\cr z_B-z_A \end{pmatrix}}\) soit \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-1\cr\cr 4-\left(-2\right)\cr\cr 0-0\end{pmatrix}}\) donc \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\cr\cr 6\cr\cr 0\end{pmatrix}}\)
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} x_C-x_A \cr\cr y_C-y_A \cr\cr z_C-z_A \end{pmatrix}}\) soit \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3-1\cr\cr 1-\left(-2\right)\cr\cr 5-0\end{pmatrix}}\) donc \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\cr\cr 3\cr\cr 5\end{pmatrix}}\)
Etape 4

Conclure

Si les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) ne sont pas proportionnelles, les points A, B et C définissent un plan.

Les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

On conclut que les points A, B et C définissent un plan.