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Recherche des diviseurs d'un nombre grâce à sa décomposition en produit de nombres premiers Méthode

Afin de déterminer tous les diviseurs d'un entier n, on le décompose en produit de facteurs premiers.

Rechercher tous les diviseurs de 120.

Etape 1

Décomposer l'entier en produit de facteurs premiers

On décompose n en produit de facteurs premiers.

La décomposition de 120 en produit de facteurs premiers est :

\(\displaystyle{120 = 2^3\times 3 \times 5}\)

Etape 2

Lister tous les diviseurs

On liste tous les diviseurs de l'entier n. On pourra notamment s'aider d'un arbre.

Les diviseurs de 120 seront donc tous de la forme : \(\displaystyle{2^m \times 3^n \times 5 ^p}\) avec :

  • \(\displaystyle{m \in \left\{ 0 ; 1;2;3 \right\}}\), soit 4 choix pour m
  • \(\displaystyle{n \in \left\{ 0 ; 1 \right\}}\), soit 2 choix pour n
  • \(\displaystyle{p\in \left\{ 0 ; 1 \right\}}\), soit 2 choix pour p

Afin de dresser la liste complète des diviseurs de 120, on dresse l'arbre ci-dessous :

-
Etape 3

Conclure

On conclut en donnant l'ensemble des diviseurs de n.

On en conclut que l'ensemble des diviseurs de 120 est :

\(\displaystyle{\left\{ 1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120 \right\}}\)