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Recherche du nombre de diviseurs d'un entier naturel

L'entier n dont la décomposition en facteurs premiers est \(\displaystyle{n = a^p \times b^q\times c^r}\) possède \(\displaystyle{\left(p+1\right)\times \left(q+1\right) \times \left(r+1\right)}\) diviseurs.

Déterminer le nombre de diviseurs de l'entier 720.

Etape 1

Décomposer n en produit de facteurs premiers

On décompose n en produit de facteurs premiers.

La décomposition en produit de facteurs premiers de 720 est :

\(\displaystyle{720= 2^4\times 3^2 \times 5}\)

Etape 2

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que le nombre de diviseurs d'un entier n est le produit des exposants apparaissant dans sa décomposition en facteurs premiers, chacun augmenté de 1.

Ainsi l'entier n dont la décomposition en facteurs premiers est \(\displaystyle{n = a^p \times b^q\times c^r}\) a \(\displaystyle{\left(p+1\right)\times \left(q+1\right) \times \left(r+1\right)}\) diviseurs.

Le nombre de diviseurs d'un entier n est le produit des puissances apparaissant dans sa décomposition en facteurs premiers, chacune augmentée de 1.

Etape 3

Déterminer le nombre de diviseurs

On conclut sur le nombre de diviseurs.

Le nombre de diviseurs de 720 est donc :

\(\displaystyle{\left(4+1\right)\times \left(2+1\right)\times \left(1+1\right) = 5 \times 3 \times 2 = 30}\)