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Rechercher une tangente particulière

Méthode 1

On recherche une tangente passant par un point

Si f est dérivable en a, une équation de tangente \(\displaystyle{T_a}\) à la courbe \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a est :

\(\displaystyle{y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right) }\)

Lorsque l'on recherche la (ou les) tangente(s) à \(\displaystyle{C_f}\) qui passe(nt) par le point \(\displaystyle{B\left(x_B;y_B\right)}\), on cherche en réalité à déterminer a tel que \(\displaystyle{T_a}\) passe par B.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2}\)

On appelle \(\displaystyle{C_f}\) sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangentes à \(\displaystyle{C_f}\) passant par le point \(\displaystyle{B\left(2;3\right)}\).

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente passant par \(\displaystyle{B\left(x_B;y_B\right)}\) revient à rechercher le (ou les) point(s) d'abscisse(s) a au(x)quel(s) la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente \(\displaystyle{T_a}\) passe par le point \(\displaystyle{B\left(x_B;y_B\right)}\).

On cherche le (ou les) point(s) d'abscisse a tel que la tangente \(\displaystyle{T_a}\) passe par le point \(\displaystyle{B\left(2;3\right)}\).

Etape 2

Poser l'équation

Si f est dérivable en a, une équation de la tangente \(\displaystyle{T_a}\) est :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right) \left(x-a\right)+f\left(a\right)}\)

Comme la tangente passe par le point \(\displaystyle{B\left(x_B;y_B\right)}\), les coordonnées de B vérifient l'équation de \(\displaystyle{T_a}\), on a donc :

\(\displaystyle{y_B = f'\left(a\right) \left(x_B-a\right)+f\left(a\right)}\)

f étant la fonction carré, elle est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). Ici, la tangente \(\displaystyle{T_a}\) passant par \(\displaystyle{B\left(2;3\right)}\) nous donne l'équation :

\(\displaystyle{3 = f'\left(a\right)\left(2-a\right)+f\left(a\right)}\)

Etape 3

Exprimer \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) en fonction de a

On exprime \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) en fonction de a.

f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme.

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2}\)

Donc \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right) = 2x}\)

On en déduit que :

  • \(\displaystyle{f\left(a\right)= a^2}\)
  • \(\displaystyle{f'\left(a\right)= 2a}\)
Etape 4

Résoudre l'équation

On résout l'équation obtenue en sachant que a est l'inconnue.

L'équation peut avoir 0, 1 ou plusieurs solutions.

L'équation à résoudre devient ainsi :

\(\displaystyle{3 = 2a\left(2-a\right)+a^2}\)

\(\displaystyle{ 4a-2a^2+a^2-3=0}\)

\(\displaystyle{-a^2+ 4a-3=0}\)

L'équation obtenue est une équation du second degré du type \(\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0}\).

Afin de déterminer ses racines, on calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) :

\(\displaystyle{\Delta = \beta^2-4\alpha \gamma}\)

\(\displaystyle{\Delta = 4^2 -4 \left(-1\right)\left(-3\right)}\)

\(\displaystyle{\Delta = 4}\)

\(\displaystyle{\Delta \gt 0}\) donc l'équation admet deux solutions :

  • \(\displaystyle{a_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-4-\sqrt{4}}{-2} = 3 }\)
  • \(\displaystyle{a_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-4+\sqrt{4}}{-2} = 1}\)
Etape 5

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut en donnant les abscisses des points de contact entre \(\displaystyle{C_f}\) et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution, de la forme \(\displaystyle{y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right)}\).

L'équation obtenue a deux solutions.

On en déduit qu'il existe deux tangentes à \(\displaystyle{C_f}\) passant par \(\displaystyle{B\left(2;3\right)}\).

La première est la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 1. Elle a pour équation :

\(\displaystyle{y= f'\left(1\right) \left(x-1\right) +f\left(1\right)}\)

Soit :

\(\displaystyle{ y =2x-1}\)

La deuxième est la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 3. Elle a pour équation :

\(\displaystyle{y= f'\left(3\right) \left(x-3\right) +f\left(3\right)}\)

Soit :

\(\displaystyle{y =6x-9}\)

Méthode 2

On cherche une tangente de coefficient directeur donné

Si f est dérivable en a, une équation de tangente \(\displaystyle{T_a}\) à la courbe \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a est :

\(\displaystyle{y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right) }\)

Lorsque l'on recherche la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) de coefficient directeur b, on cherche en réalité à déterminer a tel que \(\displaystyle{T_a}\) a pour coefficient directeur b.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) =4 x^2 -8x+1}\)

On appelle \(\displaystyle{C_f}\) sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangente(s) à \(\displaystyle{Cf}\) de coefficient directeur égal à 4.

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente de coefficient directeur donné revient à rechercher le point d'abscisse a auquel la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente \(\displaystyle{T_a}\) ait pour coefficient directeur la valeur b donnée.

On cherche le(s) point(s) d'abscisse a tel que la tangente \(\displaystyle{T_a}\) ait un coefficient directeur égal à 4.

Etape 2

Poser l'équation

Si f est dérivable en a, on sait que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative en a est égal au nombre dérivé en a.

Donc la tangente \(\displaystyle{T_a}\) a un coefficient directeur égal à b si et seulement si \(\displaystyle{f'\left(a\right) = b}\).

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), et donc en a. Le coefficient directeur de la tangente \(\displaystyle{T_a}\) vaut \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\).

Ainsi, \(\displaystyle{T_a}\) a un coefficient directeur égal à 4 si et seulement si \(\displaystyle{f'\left(a\right) = 4}\).

Etape 3

Calculer \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\)

On justifie que f est dérivable sur \(\displaystyle{I}\) et on calcule \(\displaystyle{f'\left(x\right) }\).

f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme.

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) =4 x^2 -8x+1}\)

Donc :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right)= 8x-8}\)

Etape 4

Résoudre l'équation

On résout l'équation \(\displaystyle{f'\left(a\right) = b}\).

On résout :

\(\displaystyle{f'\left(a\right)=4}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow8a-8 = 4 }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow8a = 12}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}}\)

Etape 5

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut sur les abscisses des points de contact entre \(\displaystyle{C_f}\) et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right)}\) ou, plus simplement, \(\displaystyle{y = b \left(x-a\right) +f\left(a\right)}\)

Il existe donc une tangente à \(\displaystyle{C_f }\) de coefficient directeur égal à 4, c'est la tangente au point d'abscisse \(\displaystyle{\dfrac{3}{2}}\).

Elle admet pour équation :

\(\displaystyle{y = 4\left(x-\dfrac{3}{2}\right) +f\left(\dfrac{3}{2}\right)}\)

Soit :

\(\displaystyle{y = 4x-6 +4\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 -8\left(\dfrac{3}{2}\right) +1}\)

Finalement :

\(\displaystyle{T_{1,5}:y = 4x-8}\)

Méthode 3

On cherche une tangente parallèle à une droite

Si f est dérivable en a, une équation de tangente \(\displaystyle{T_a}\) à la courbe \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a est :

\(\displaystyle{y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right) }\)

Lorsque l'on recherche la (ou les) tangente(s) à \(\displaystyle{C_f}\) parallèle(s) à une droite D, on cherche en réalité à déterminer a tel que \(\displaystyle{T_a}\) soit parallèle à D.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =-2 x^2 +4x+3}\)

On appelle \(\displaystyle{C_f}\) sa courbe représentative. Déterminer la ou les tangente(s) à \(\displaystyle{Cf}\) parallèle(s) à la droite d'équation \(\displaystyle{y = 6x-2}\).

Etape 1

Rappeler la condition

Rechercher une tangente parallèle à une droite de coefficient directeur donné revient à rechercher le point d'abscisse a auquel la droite est tangente à la courbe.

Ici on cherche a tel que la tangente \(\displaystyle{T_a}\) soit parallèle à la droite D.

On cherche le(s) point(s) d'abscisse a tel que la tangente \(\displaystyle{T_a}\) soit parallèle à la droite d'équation \(\displaystyle{y = 6x-2}\).

Etape 2

Rappeler la condition pour que deux droites soient parallèles

Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.

Il faut donc ici que la (ou les) tangente(s) \(\displaystyle{T_a}\) ai(en)t le même coefficient directeur que D.

Or, deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. On cherche donc le(s) point(s) d'abscisse a tel(s) que la tangente Ta ait un coefficient directeur égal à 6.

Etape 3

Poser l'équation

On sait si f est dérivable en a que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative en a est égal au nombre dérivé en a.

Donc la tangente \(\displaystyle{T_a}\) a un coefficient directeur égal à b si et seulement si :

\(\displaystyle{f'\left(a\right) = b}\)

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). Donc le coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a vaut \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\).

Ainsi, la tangente Ta a un coefficient directeur égal à 6 si et seulement si :

\(\displaystyle{f'\left(a\right) = 6}\)

Etape 4

Calculer \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\)

On justifie que f est dérivable sur \(\displaystyle{I}\) et on calcule \(\displaystyle{f'\left(x\right) }\).

f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme.

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) =-2x^2 +4x+3}\)

Donc :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right)= -4x+4}\)

Etape 5

Résoudre l'équation

On résout l'équation \(\displaystyle{f'\left(a\right) = b}\).

On résout donc :

\(\displaystyle{f'\left(a\right)=6}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow-4a+4=6}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow-4a = 2}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow a = -\dfrac{1}{2}}\)

Etape 6

Conclure en donnant une équation de la (ou des) tangente(s) recherchée(s)

On conclut sur les abscisses des points de contact entre \(\displaystyle{C_f}\) et les tangentes recherchées.

On détermine une équation de chaque tangente solution :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right)}\) ou, plus simplement, \(\displaystyle{y = b \left(x-a\right) +f\left(a\right)}\)

La seule tangente à \(\displaystyle{Cf }\) de coefficient directeur égal à 4 est la tangente au point d'abscisse \(\displaystyle{-\dfrac{1}{2}}\).

Elle admet pour équation :

\(\displaystyle{y = 6\left(x+\dfrac{1}{2}\right) +f\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\)

Soit :

\(\displaystyle{y = 6x+3 -2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 +4\left(-\dfrac{1}{2}\right) +3}\)

\(\displaystyle{y = 6x+3,5}\)