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Représenter une droite dans un repère

Méthode 1

Si on connaît l'équation réduite de la droite

Lorsque l'on connaît son équation réduite on peut représenter une droite en utilisant l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur.

Tracer la droite d d'équation réduite \(\displaystyle{y = -4x+6}\) dans un repère.

Etape 1

Rappeler l'équation de la droite

On rappelle l'équation réduite de la droite.

L'équation réduite de d est : \(\displaystyle{y=-4x+6}\).

Etape 2

Placer l'ordonnée à l'origine

Pour obtenir l'ordonnée à l'origine, on pose \(\displaystyle{x= 0}\).

On obtient \(\displaystyle{y = a\times 0 +b =b}\).

On place donc le point \(\displaystyle{\left(0;b\right)}\).

On remplace x par 0 dans l'équation réduite de d.

On obtient \(\displaystyle{y = -4\times 0 +6 }\).

On place donc le point \(\displaystyle{A\left(0;6\right)}\).

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Etape 3

Utiliser le coefficient directeur pour placer un second point

On sait que le coefficient directeur de la droite d vaut a.

Donc, lorsque l'on se déplace de 1 unité vers la droite sur l'axe des abscisses à partir d'un point de d, on doit se déplacer de a verticalement pour placer un autre point de d.

En partant du point obtenu à partir de l'ordonnée à l'origine, on peut ainsi placer un deuxième point.

Le coefficient directeur de d est égal à −4.

Donc lorsque l'on se déplace de 1 unité vers la droite sur l'axe des abscisses à partir d'un point de la droite, on doit se déplacer de 4 vers le bas afin de retomber sur un point de la droite.

On représente cette situation sur un graphique :

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Etape 4

Tracer la droite

On relie les deux points trouvés. On obtient la représentation de la droite d.

On relie les deux points pour obtenir la représentation de d.

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Méthode 2

Si on connaît une équation cartésienne de la droite

Lorsque l'on connaît une équation cartésienne de la droite, il suffit, pour la représenter, de déterminer les coordonnées de deux points de cette droite et de les relier.

Tracer la droite d d'équation cartésienne \(\displaystyle{2x+3y-1 = 0}\) dans un repère orthonormé.

Etape 1

Rappeler une équation de la droite

On rappelle l'équation cartésienne de la droite donnée dans l'énoncé.

Une équation cartésienne de d est \(\displaystyle{2x+3y-1 = 0}\).

Etape 2

Déterminer les coordonnées d'un point de la droite

On choisit une valeur simple pour x. On la remplace dans l'expression de l'équation cartésienne de d. On obtient la valeur de y correspondante.

On place le point \(\displaystyle{\left(x;y\right)}\) obtenu.

On pose \(\displaystyle{x=2}\).

On obtient :

\(\displaystyle{2 \times 2+3y-1 = 0}\)

\(\displaystyle{3y= -3}\)

\(\displaystyle{y=-1}\)

On place le point \(\displaystyle{\left(2;-1\right)}\).

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Etape 3

Déterminer les coordonnées d'un second point de la droite

On choisit une valeur x différente de la précédente. On la remplace dans l'expression de l'équation cartésienne de d. On obtient la valeur de y correspondante.

On place le point obtenu.

On pose \(\displaystyle{x=-1}\).

On obtient :

\(\displaystyle{2 \times\left(- 1\right)+3y-1 = 0}\)

\(\displaystyle{3y= 3}\)

\(\displaystyle{y=1}\)

On place le point \(\displaystyle{\left(-1;1\right)}\).

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Etape 4

Tracer la droite

On relie les deux points trouvés. On obtient la représentation de la droite d.

On relie les deux points pour obtenir la représentation de d.

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Méthode 3

Si on connaît un point et un vecteur directeur de la droite

Pour représenter une droite lorsque l'on connaît un point et un vecteur directeur, il suffit de placer le point connu et de placer un second point grâce au vecteur directeur.

Tracer la droite d passant par le point \(\displaystyle{A \left(1 ;-3\right) }\) et de vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 3\end{pmatrix}}\) dans un repère.

Etape 1

Rappeler le point et le vecteur directeur

On rappelle les coordonnées du point ainsi que les coordonnées du vecteur directeur de la droite données par l'énoncé.

\(\displaystyle{A\left(1 ; -3\right)}\) appartient à la droite, et un vecteur directeur de la droite est \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2\cr\cr 3\end{pmatrix}}\).

Etape 2

Placer le point

On place le point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\).

On place le point \(\displaystyle{A \left(1;-3\right)}\).

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Etape 3

Utiliser le vecteur directeur pour placer un deuxième point

On sait qu'un vecteur directeur de la droite est \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\).

On en déduit que, \(\displaystyle{\forall k \in \mathbb{Z}}\), les points de coordonnées \(\displaystyle{\left(x+ka ; y+kb\right)}\) appartiennent à la droite d.

On pose \(\displaystyle{k=1}\) et on place le point \(\displaystyle{B\left(x+a;y+b\right)}\).

On peut placer n'importe quel point \(\displaystyle{M_k\left(x+ka ; y+kb\right)}\) avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).

On prend toutefois généralement une valeur simple de k, comme \(\displaystyle{k=1}\), ce qui réduit le risque d'erreurs de calcul.

On sait que le vecteur directeur de la droite vaut \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 3 \end{pmatrix}}\).

On en déduit que, \(\displaystyle{\forall k \in \mathbb{Z}}\), les points de coordonnées \(\displaystyle{\left(1+k\times \left(-2\right) ; -3+k\times 3\right)}\) appartiennent à la droite d.

En particulier, pour \(\displaystyle{k=1}\), le point \(\displaystyle{B\left(1-2 ;-3+3\right)}\), c'est-à-dire \(\displaystyle{B\left(-1;0\right)}\), appartient à \(\displaystyle{\left(d\right)}\). On place B.

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Etape 4

Tracer la droite

On relie les deux points trouvés. On obtient la représentation de la droite d.

On relie les deux points pour obtenir la représentation graphique de d.

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