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Résoudre une équation du premier degré dans C

Méthode 1

L'équation comporte uniquement z

Afin de résoudre une équation du premier degré dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) comportant uniquement z comme inconnue (et pas z et son conjugué \(\displaystyle{\overline{z}}\) ), on isole l'inconnue z de manière habituelle.

Résoudre l'équation suivante dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) :

\(\displaystyle{\left(2+3i\right)\left(z-i\right) =1}\)

Etape 1

Isoler z dans l'équation

On isole le ou les terme(s) en z du même côté de l'égalité. S'il y a plusieurs termes en z, on factorise ensuite par z.

On a :

\(\displaystyle{\forall z\in\mathbb{C}}\), \(\displaystyle{\left(2+3i\right)\left(z-i\right) =1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 2z-2i+3iz-3i^2 =1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 2z-2i+3iz+3 =1}\)

On isole les termes en z du même côté de l'égalité. On obtient :

\(\displaystyle{\forall z\in\mathbb{C}}\), \(\displaystyle{2z-2i+3iz+3 =1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow2z+3iz =-2+2i}\)

On factorise par z :

\(\displaystyle{\forall z\in\mathbb{C}}\), \(\displaystyle{2z+3iz =-2+2i}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow z\left(2+3i\right)=-2+2i}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow z=\dfrac{-2+2i}{2+3i}}\)

Etape 2

Résoudre

Si ce n'est pas déjà le cas, on met la solution obtenue sous forme algébrique.

On en déduit que :

\(\displaystyle{z=\dfrac{-2+2i}{2+3i}}\)

On détermine sa forme algébrique :

\(\displaystyle{z=\dfrac{-2+2i}{2+3i} \times \dfrac{2-3i}{2-3i}}\)

\(\displaystyle{z=\dfrac{-4+6i+4i-6i^2}{2^2+3^2}}\)

\(\displaystyle{z=\dfrac{2}{13} +\dfrac{10}{13}i}\)

Finalement, la solution de l'équation est :

\(\displaystyle{S=\left\{ \dfrac{2}{13} +\dfrac{10}{13}i \right\}}\)

Méthode 2

L'équation comporte uniquement \(\displaystyle{\overline{z}}\)

Afin de résoudre une équation du premier degré dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) comportant uniquement \(\displaystyle{\overline{z}}\), le complexe conjugué de z, comme inconnue, on isole l'inconnue \(\displaystyle{\overline{z}}\) de manière habituelle, on résout l'inéquation puis on déduit la valeur de z à partir de celle de \(\displaystyle{\overline{z}}\).

Résoudre l'équation suivante dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) :

\(\displaystyle{3\overline{z}-4i=5}\)

Etape 1

Isoler \(\displaystyle{\overline{z}}\) dans l'équation

On isole le ou les terme(s) en \(\displaystyle{\overline{z}}\) du même côté de l'égalité.

S'il y a plusieurs termes en \(\displaystyle{\overline{z}}\), on factorise ensuite par \(\displaystyle{\overline{z}}\).

On isole le terme en \(\displaystyle{\overline{z}}\) :

\(\displaystyle{\forall z\in\mathbb{C}}\), \(\displaystyle{3\overline{z}-4i=5}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow3\overline{z}=5+4i}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\overline{z}= \dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}i}\)

Etape 2

Résoudre

On résout l'équation puis on donne la valeur de \(\displaystyle{\overline{z}}\).

Ici, \(\displaystyle{\overline{z}}\) est déjà sous forme algébrique.

Etape 3

Donner la valeur de z

\(\displaystyle{\overline{z}}\) étant le complexe conjugué de z, on déduit z de la valeur de \(\displaystyle{\overline{z}}\).

\(\displaystyle{\overline{z}= \dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}i}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow z= \dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}i}\)

Ainsi, la solution est :

\(\displaystyle{S=\left\{ \dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}i \right\}}\)

Méthode 3

L'équation comporte à la fois z et \(\displaystyle{\bar{z}}\)

Afin de résoudre une équation du premier degré dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) comportant à la fois z et \(\displaystyle{\overline{z}}\) comme inconnues, on utilise le fait que, si \(\displaystyle{z =x+iy}\), alors \(\displaystyle{\overline{z} =x-iy}\) (avec x et y deux réels).

Résoudre l'équation suivante dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) :

\(\displaystyle{\overline{z}-2z+8=3+5i}\)

Etape 1

Poser \(\displaystyle{z=x+iy}\) et remplacer dans l'équation

On pose \(\displaystyle{z =x+iy}\), avec x et y deux réels. On a alors \(\displaystyle{\overline{z} =x-iy}\). On remplace dans l'équation de départ.

On pose :

\(\displaystyle{z =x+iy}\)

Avec x et y deux réels.

On a :

\(\displaystyle{\overline{z} =x-iy}\)

L'équation devient :

\(\displaystyle{x-iy-2\left(x+iy\right)+8=3+5i}\)

Etape 2

Passer tous les termes du même côté de l'égalité

On passe tous les termes du même côté.

On obtient :

\(\displaystyle{x-iy-2x-2iy+5-5i=0}\)

Etape 3

Isoler la partie réelle et la partie imaginaire

On isole les parties réelle et imaginaire.

L'équation devient :

\(\displaystyle{-x+5-i\left(3y+5\right)=0}\)

Etape 4

Réciter le cours

On rappelle qu'un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.

Or, un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. Ainsi, pour tous réels x et y :

\(\displaystyle{-x+5-i\left(3y+5\right)=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} -x+5=0 \cr \cr 3y+5=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} x=5 \cr \cr y=-\dfrac{5}{3}\end{cases}}\)

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant la valeur de z.

On en déduit que la solution de l'équation est :

\(\displaystyle{S = \left\{ 5 - \dfrac{5}{3}i \right\}}\)