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Résoudre une équation irrationnelle

Pour résoudre une équation irrationnelle il faut passer tous les termes au carré puis résoudre l'équation du second degré obtenue et enfin confronter les solutions avec l'ensemble de définition de l'équation.

Résoudre l'équation :

\(\displaystyle{\sqrt{2x^2+4x-6}=2x-1}\)

Etape 1

Déterminer le domaine de définition de l'équation

D'après le cours, on sait que \(\displaystyle{\sqrt{u\left(x\right)}}\) est définie si et seulement si \(\displaystyle{u\left(x\right) \geqslant 0}\).

On résout l'inéquation \(\displaystyle{u\left(x\right) \geqslant 0}\). Le domaine de définition est l'ensemble des intervalles solutions de cette inéquation.

D'après le cours, l'équation est définie si et seulement \(\displaystyle{2x^2+4x-6 \geqslant 0}\).

On détermine le signe du trinôme \(\displaystyle{2x^2+4x-6 }\).

Pour cela, on calcule son discriminant :

\(\displaystyle{\Delta_1 = b^2-4ac}\)

\(\displaystyle{\Delta_1 = 4^2-4\times 2\times \left(-6\right)}\)

\(\displaystyle{\Delta_1 =16+48}\)

\(\displaystyle{\Delta_1 =64}\)

\(\displaystyle{\Delta_1 \gt 0}\) donc le trinôme est du signe de a (positif) sauf entre les racines que l'on détermine :

  • \(\displaystyle{x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta_1}}{2a} = \dfrac{-4-8}{4} =-3}\)
  • \(\displaystyle{x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta_1}}{2a} = \dfrac{-4+8}{4} =1}\)

On récapitule le signe du trinôme dans un tableau :

-

Donc l'ensemble de définition de l'équation est \(\displaystyle{D=\left]-\infty; -3 \right] \cup \left[1;+\infty\right[}\).

Etape 2

Transformer l'équation

On passe les deux membres de l'équation au carré. La racine se supprime alors.

On met tous les termes du même côté. Après développement et simplification, l'équation a une forme du type :

\(\displaystyle{ax^2+bx+c=0}\)

On élève les deux membres de l'équation au carré. Pour tout réel x appartenant à D :

\(\displaystyle{\sqrt{2x^2+4x-6}=2x-1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow2x^2+4x-6= \left(2x-1\right)^2}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow2x^2+4x-6= 4x^2-4x+1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow-2x^2+8x-7= 0}\)

Etape 3

Résoudre l'équation

On doit donc déterminer les racines du trinôme du second degré obtenu.

On calcule le discriminant \(\displaystyle{ \Delta}\) (avec \(\displaystyle{\Delta=b^2-4ac}\) ) et on conclut selon le signe de \(\displaystyle{ \Delta}\) :

  • Si \(\displaystyle{\Delta>0}\), l'équation admet deux racines réelles distinctes que l'on calcule :
    \(\displaystyle{x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) et \(\displaystyle{x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
  • Si \(\displaystyle{\Delta=0}\), l'équation admet une racine double que l'on calcule :
    \(\displaystyle{x_0=\dfrac{-b}{2a}}\).

  • Si \(\displaystyle{\Delta<0}\), l'équation n'admet pas de racine réelle.

Afin de résoudre cette équation, on calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) du trinôme \(\displaystyle{-2x^2+8x-7}\) :

\(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac}\)

\(\displaystyle{\Delta = 8^2-4\times \left(-2\right)\times \left(-7\right)}\)

\(\displaystyle{\Delta = 64-56}\)

\(\displaystyle{\Delta = 8}\)

\(\displaystyle{\Delta \gt 0}\) donc le trinôme admet deux racines réelles :

  • \(\displaystyle{x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-8-\sqrt 8}{-4} =2+ \dfrac{\sqrt2}{2}}\)
  • \(\displaystyle{x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-8+\sqrt 8}{-4} =2- \dfrac{\sqrt2}{2}}\)

Il peut arriver que le membre de gauche de l'équation obtenue ne soit pas un trinôme du second degré (a nul), dans ce cas on peut trouver la ou les racine(s) sans calculer \(\displaystyle{\Delta}\).

Etape 4

Vérifier que les solution(s) appartiennent au domaine de définition

Pour chaque racine, on détermine si elle appartient ou non à l'ensemble de définition de l'équation.

On ne retient que la ou les solution(s) appartenant à l'ensemble de définition.

On a \(\displaystyle{x_1 = 2+\dfrac{\sqrt 2}{2} \approx 2,707}\)

Donc \(\displaystyle{x_1 \in \left]-\infty; -3 \right] \cup \left[1;+\infty\right[}\)

De même, \(\displaystyle{x_2 = 2-\dfrac{\sqrt 2}{2} \approx 1,293}\)

Donc \(\displaystyle{x_2 \in \left]-\infty; -3 \right] \cup \left[1;+\infty\right[}\)

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant, si elle(s) existe(nt), la ou les solution(s) de l'équation appartenant à l'ensemble de définition.

L'ensemble des solutions de l'équation est :

\(\displaystyle{S = \left\{ 2 -\dfrac{\sqrt2}{2}; 2+\dfrac{\sqrt2}{2} \right\}}\)