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Résoudre une équation par les congruences 

Il est possible de résoudre des équations avec des congruences en appliquant les propriétés des opérations sur les congruences.

Déterminer les entiers x tels que :

\(\displaystyle{3x+4 \ce{#} 2 \left[ 4\right]}\)

Etape 1

Simplifier l'équation

D'après le cours, on sait que :

\(\displaystyle{ax+b \ce{#} c\left[ d \right] \Leftrightarrow ax \ce{#} c-b\left[ d \right] }\)

Si nécessaire, on applique cette propriété afin de simplifier l'équation.

\(\displaystyle{3x+4 \ce{#} 2 \left[ 4\right]\Leftrightarrow 3x \ce{#} -2 \left[ 4\right]}\)

Or :

\(\displaystyle{ -2 \left[ 4\right] \ce{#} 2 \left[ 4\right] }\)

Donc l'équation devient :

\(\displaystyle{3x \ce{#} 2 \left[ 4\right]}\)

Etape 2

Raisonner avec un tableau

On dresse la table des congruences de x par b puis on en déduit celle de \(\displaystyle{ax}\) par b.

Or x est nécessairement congru à 0 ; 1 ; 2 ou 3.

On en déduit que :

  • Si \(\displaystyle{x\ce{#} 0 \left[ 4 \right]}\) alors \(\displaystyle{3x\ce{#} 0 \left[ 4 \right]}\)
  • Si \(\displaystyle{x\ce{#} 1 \left[ 4 \right]}\) alors \(\displaystyle{3x\ce{#} 3 \left[ 4 \right]}\)
  • Si \(\displaystyle{x\ce{#} 2 \left[ 4 \right]}\) alors \(\displaystyle{3x\ce{#} 6\ce{#} 2 \left[ 4 \right]}\)
  • Si \(\displaystyle{x\ce{#} 3 \left[ 4 \right]}\) alors \(\displaystyle{3x\ce{#} 9\ce{#} 1 \left[ 4 \right]}\)

Pour plus de lisibilité, on récapitule les résultats sous forme d'une table des congruences.

\(\displaystyle{x\ce{#}}\) 0 1 2 3
\(\displaystyle{3x\ce{#}}\) 0 3 2 1

On en déduit que :

\(\displaystyle{3x\ce \ce{#} 2 \left[ 4 \right] \Leftrightarrow x\ce \ce{#} 2 \left[ 4 \right] }\)

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation.

On en conclut que les entiers x solutions de l'équation sont de la forme \(\displaystyle{2+4k}\) avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).