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Résoudre une équation quotient

Une équation quotient est une équation pouvant se ramener à une équation du type \(\displaystyle{\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}}\).

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation suivante :

\(\displaystyle{\dfrac{3x+1}{1-x} =\dfrac{4x}{2-2x}}\)

Etape 1

Identifier la ou les valeur(s) interdite(s)

On commence par identifier la ou les valeur(s) interdite(s) éventuelle(s), c'est-à-dire les valeurs qui annulent le(s) dénominateur(s).

On identifie la ou les valeur(s) interdite(s). Pour tout réel x :

\(\displaystyle{1-x= 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x= 1}\)

De plus, pour tout réel x :

\(\displaystyle{2-2x= 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x= 1}\)

On en déduit que l'équation n'est pas définie en \(\displaystyle{x= 1}\). On la résout donc sur \(\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}}\).

Etape 2

Passer tous les termes du même côté de l'égalité

Si l'équation n'est pas une équation quotient nul, on passe tous les termes du même côté de l'égalité.

On passe tous les termes du même côté de l'égalité. Pour tout réel \(\displaystyle{x\neq1}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{3x+1}{1-x} =\dfrac{4x}{2-2x}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \dfrac{3x+1}{1-x} -\dfrac{4x}{2-2x}=0}\)

Etape 3

Mettre les fractions sur le même dénominateur

Si l'équation n'est pas un quotient nul, on met ensuite tous les termes sur le même dénominateur.

On obtient une équation quotient nul.

On met tous les termes sur le même dénominateur.

On remarque que \(\displaystyle{2-2x = 2\left(1-x\right)}\), on choisit donc \(\displaystyle{2-2x}\) comme dénominateur commun.

Ainsi, pour tout réel \(\displaystyle{x\neq1}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{3x+1}{1-x} -\dfrac{4x}{2-2x}=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \dfrac{2\times \left(3x+1\right)}{2-2x} -\dfrac{4x}{2-2x}=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \dfrac{6x+2-4x}{2-2x}=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \dfrac{2x+2}{2-2x}=0}\)

Etape 4

Réciter le cours

On récite la propriété : "un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul". On peut alors transformer l'équation.

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.

Donc, pour tout réel \(\displaystyle{x\neq1}\) :

\(\displaystyle{\dfrac{2x+2}{2-2x}=0 \Leftrightarrow 2x+2=0}\)

Etape 5

Résoudre l'équation

On résout l'équation obtenue.

On résout donc l'équation \(\displaystyle{2x+2 = 0}\). Pour tout réel \(\displaystyle{x\neq1}\) :

\(\displaystyle{2x+2 = 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 2x = -2}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x = -\dfrac{2}{2}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x = -1}\)

Etape 6

Vérifier l'appartenance des solutions au domaine de définition de l'équation et conclure

On vérifie que les solutions obtenues appartiennent bien au domaine de définition de l'équation. On en déduit les solutions de l'équation quotient.

L'équation est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}}\).

Or \(\displaystyle{-1\in\mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}}\)

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

\(\displaystyle{S = \left\{ -1 \right\}}\)