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Résoudre une équation trigonométrique du type sin(x)=a

À l'aide du cercle trigonométrique et des angles usuels, on sait déterminer les solutions des équations au programme de 2nde du type \(\displaystyle{\sin \left(x\right) = a}\).

Résoudre l'équation \(\displaystyle{\sin \left(x\right) = \dfrac {\sqrt 2}{2}}\) sur \(\displaystyle{\left[ -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]}\).

Etape 1

Se ramener à une équation du type \(\displaystyle{\sin\left(x\right)=\sin\left(\alpha\right)}\)

Si ce n'est pas déjà le cas, on se ramène à une équation du type \(\displaystyle{\sin \left(x\right) = \sin\left(\alpha\right)}\) à l'aide des valeurs remarquables de sinus.

On remarque que :

\(\displaystyle{\dfrac{\sqrt 2}{2} = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\)

L'équation devient donc :

\(\displaystyle{\sin \left(x\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\)

Etape 2

Déterminer les réels qui ont le même sinus

On trace la droite \(\displaystyle{y= a}\) sur le cercle trigonométrique.

L'intersection de cette droite avec le cercle donne les solutions de l'équation \(\displaystyle{\sin\left(x\right) = \sin\left(\alpha\right) }\).

-

On en déduit que :

\(\displaystyle{\sin\left(x\right) =\sin\left(\alpha\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \alpha +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr ou \cr x=\pi-\alpha +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}}\)

On trace la droite \(\displaystyle{y = \dfrac{\sqrt 2}{2}}\) sur le cercle trigonométrique.

-

On en déduit que :

\(\displaystyle{\sin\left(x\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \dfrac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr ou \cr x=\pi-\dfrac{\pi}{4} +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}}\)

Etape 3

Rappeler l'intervalle d'étude demandé

On rappelle l'intervalle sur lequel on doit résoudre l'équation.

On cherche les solutions appartenant à l'intervalle \(\displaystyle{\left[ - \dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]}\).

Etape 4

Conclure

On sélectionne la ou les solution(s) appartenant à I.

Le seul réels qui convient est \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}\). Donc l'ensemble des solutions de l'équation est :

\(\displaystyle{S = \left\{ \dfrac{\pi}{4}\right\}}\)