Se connecter
ou

Résoudre une inéquation du type x2<a

Méthode 1

Résolution des inéquations du type \(\displaystyle{x^2\lt a}\)

Une inéquation du type \(\displaystyle{x^2 \lt a }\) peut avoir zéro, une ou une infinité de solutions en fonction du signe de a.

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'inéquation :

\(\displaystyle{x^2 \lt 3}\)

Etape 1

Déterminer le signe de a

Dans l'inéquation \(\displaystyle{x ^2\lt a }\), on détermine si a est strictement négatif, strictement positif ou nul.

L'inéquation \(\displaystyle{x^2 \lt 3}\) est une inéquation du type \(\displaystyle{x^2 \lt a}\), avec \(\displaystyle{a\gt 0}\).

Etape 2

Réciter le cours

On distingue deux cas :

  • Si \(\displaystyle{a \leq 0}\), l'inéquation \(\displaystyle{x^2 \lt a}\) n'a pas de solution sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
  • Si \(\displaystyle{a \gt 0}\), \(\displaystyle{x^2 \lt a \Leftrightarrow -\sqrt{a}\lt x \lt \sqrt{a}}\).

Si l'inéquation est large (\(\displaystyle{x^2 \leq a}\)) et si \(\displaystyle{a = 0}\), l'inéquation admet \(\displaystyle{x= 0}\) comme unique solution.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{x^2 \lt 3 \Leftrightarrow -\sqrt 3\lt x \lt \sqrt 3}\)

Etape 3

Conclure

On conclut en donnant le résultat sous forme d'un intervalle.

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

\(\displaystyle{S = \left] -\sqrt 3 ; \sqrt 3 \right[}\)

Méthode 2

Résolution des inéquations du type \(\displaystyle{x^2\gt a}\)

Une inéquation du type \(\displaystyle{x^2 \gt a }\) se résout en fonction du signe de a.

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'inéquation :

\(\displaystyle{x^2 \gt 12}\)

Etape 1

Déterminer le signe de a

Dans l'inéquation \(\displaystyle{x ^2\lt a }\), on détermine si a est strictement négatif, strictement positif, ou nul.

L'inéquation \(\displaystyle{x^2 \gt 12}\) est une inéquation du type \(\displaystyle{x^2 \gt a}\), avec \(\displaystyle{a\gt 0}\).

Etape 2

Réciter le cours

On distingue deux cas :

  • Si \(\displaystyle{a \leq 0}\), l'inéquation \(\displaystyle{x^2 \gt a}\) est vérifiée pour tout \(\displaystyle{x\in \mathbb{R}}\).
  • Si \(\displaystyle{a \gt 0}\), \(\displaystyle{x^2 \gt a \Leftrightarrow\begin{cases} x \gt \sqrt a \cr ou \cr x\lt -\sqrt a \end{cases}}\)

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{x^2 \gt 12}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow\begin{cases} x \gt \sqrt{12} \cr ou \cr x\lt -\sqrt{12} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} x \gt 2\sqrt{3} \cr ou \cr x\lt -2\sqrt{3} \end{cases}}\)

Etape 3

Conclure

On conclut en donnant le résultat sous forme d'un intervalle ou d'une union d'intervalles.

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

\(\displaystyle{S = \left] - \infty ; -2\sqrt3 \right[ \cup \left] 2\sqrt3 ; +\infty \right[}\)

Si l'inéquation est du type \(\displaystyle{\left(u\left(x\right)\right)^2\gt a}\) ou \(\displaystyle{\left(u\left(x\right)\right)^2\lt a}\), on résout de la même manière, sauf qu'après avoir récité le cours, il convient de résoudre une ou deux inéquations afin de déterminer les valeurs de x solutions.