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Retrouver des inconnues dans une division euclidienne

Méthode 1

Déterminer le quotient et le reste

Afin de déterminer le quotient et le reste d'une division euclidienne, on l'écrit sous la forme \(\displaystyle{a=bq+r}\) avec a (le dividende), b (le diviseur) et q (le quotient) des nombres entiers relatifs et r le reste un nombre entier naturel tel que \(\displaystyle{0\leq r \lt\left| b \right| }\).

Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 163 par 12.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle qu'une division euclidienne s'écrit sous la forme \(\displaystyle{a=bq+r}\) avec a le dividende, b le diviseur, q le quotient (qui sont des entiers relatifs) et r le reste un entier positif tel que \(\displaystyle{0\leq r \lt\left| b \right| }\).

On cherche à déterminer \(\displaystyle{q \in \mathbb{Z}}\) et \(\displaystyle{r \in \mathbb{N}}\), avec \(\displaystyle{0 \leq r \lt 12}\), tels que :

\(\displaystyle{163= 12q +r}\)

Etape 2

Calculer la partie entière de \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\)

On sait que q est la partie entière de \(\displaystyle{ \dfrac{a}{b}}\) .

q est la partie entière de \(\displaystyle{\dfrac{163}{12}}\).

Or :

\(\displaystyle{\dfrac{163}{12} \approx 13,6}\)

Donc :

\(\displaystyle{q = 13}\)

Etape 3

Calculer le reste et vérifier que \(\displaystyle{0\leq r \lt\left| b \right| }\)

On a \(\displaystyle{a = bq +r}\).

On en déduit que : \(\displaystyle{r = a-bq}\)

On vérifie ensuite que \(\displaystyle{0\leq r \lt\left| b \right| }\).

On a :

\(\displaystyle{163= 12\times13 +r}\)

Soit :

\(\displaystyle{r = 163 -12\times 13}\)

\(\displaystyle{r=7}\)

On a bien \(\displaystyle{0\leq r \lt 12}\).

Etape 4

Conclure

On conclut en donnant les valeurs de q et r.

On a donc :

  • \(\displaystyle{q= 13}\)
  • \(\displaystyle{r = 7}\)
Méthode 2

Déterminer le diviseur et le reste

Afin de déterminer le diviseur et le reste d'une division euclidienne, on détermine un encadrement du diviseur afin d'en déduire sa valeur puis on calcule r.

On divise 237 par un entier naturel non nul b. Le quotient est 13 et le reste est r.

Déterminer toutes les valeurs possibles de b et r.

Etape 1

Écrire la division euclidienne

La division euclidienne est de la forme :

\(\displaystyle{a = bq + r}\), avec a, b et q des entiers relatifs et r un entier naturel tel que \(\displaystyle{0\leq r \lt\left| b \right| }\).

On cherche à déterminer \(\displaystyle{b \in \mathbb{Z}}\) et \(\displaystyle{r \in \mathbb{N}}\), avec \(\displaystyle{0 \leq r \lt \left| b \right|}\), tels que :

\(\displaystyle{237 = 13b + r}\)

Etape 2

En déduire un encadrement de b

On a :

\(\displaystyle{a=bq+r}\), avec \(\displaystyle{0\leq r \lt\left| b \right| }\)

Ainsi :

\(\displaystyle{bq \leq bq+r \lt bq+\left| b \right|}\)

Plusieurs cas peuvent se présenter :

Cas 1

Si \(\displaystyle{a\gt0}\) et \(\displaystyle{b\gt0}\)

Alors :

\(\displaystyle{q=E\left(\dfrac{a}{b}\right)\gt0}\)

L'encadrement devient :

\(\displaystyle{bq\leq a\lt bq+b}\)

\(\displaystyle{bq\leq a\lt b\left(q+1\right)}\)

Comme \(\displaystyle{b\gt0}\) et \(\displaystyle{q\gt0}\), on obtient :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{q+1}\lt b\leq \dfrac{a}{q}}\)

Cas 2

Si \(\displaystyle{a\gt0}\) et \(\displaystyle{b\lt0}\)

Alors :

\(\displaystyle{q=E\left(\dfrac{a}{b}\right)\lt0}\)

L'encadrement devient :

\(\displaystyle{bq\leq a\lt bq-b}\)

\(\displaystyle{bq\leq a\lt b\left(q-1\right)}\)

Comme \(\displaystyle{b\lt0}\) et \(\displaystyle{q\lt0}\), on obtient :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{q}\leq b\lt \dfrac{a}{q-1}}\)

Cas 3

Si \(\displaystyle{a\lt0}\) et \(\displaystyle{b\lt0}\)

Alors :

\(\displaystyle{q=E\left(\dfrac{a}{b}\right)\gt0}\)

L'encadrement devient :

\(\displaystyle{bq\leq a\lt bq-b}\)

\(\displaystyle{bq\leq a\lt b\left(q-1\right)}\)

  • Si \(\displaystyle{q=1}\), alors \(\displaystyle{b\leq a\lt 0}\), et, comme \(\displaystyle{a=b\times1+r}\), on a \(\displaystyle{r=a-b}\)
  • Si \(\displaystyle{q\neq1}\), alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{q-1}\lt b\leq \dfrac{a}{q}}\)

Ici, on a \(\displaystyle{a\gt0}\) et \(\displaystyle{q\gt0}\), donc \(\displaystyle{b\gt0}\). Ainsi :

\(\displaystyle{237=13b+r}\), avec \(\displaystyle{0\leq r\lt\left| b \right|}\).

On a donc :

\(\displaystyle{13b \leq 13b+r \lt 13b+b}\)

D'où :

\(\displaystyle{13b \leq 237 \lt 14b}\)

On en déduit un encadrement de b :

\(\displaystyle{\dfrac{237}{14} \lt b \leq \dfrac{237}{13}}\)

Etape 3

Déterminer les valeurs possibles de b

b peut prendre comme valeurs tous les entiers vérifiant l'encadrement précédent.

\(\displaystyle{16,9\lt b \leq18,2}\)

Par conséquent :

\(\displaystyle{b= 17 }\) ou \(\displaystyle{b = 18}\)

Etape 4

En déduire les valeurs possibles de r

On a \(\displaystyle{a = bq +r}\).

On en déduit que : \(\displaystyle{r = a-bq}\)

On détermine la valeur de r correspondante à chaque valeur de b trouvée. On vérifie ensuite à chaque fois que \(\displaystyle{0\leq r \lt\left| b \right| }\).

Pour \(\displaystyle{b = 17}\) on obtient :

\(\displaystyle{r = 237 - 17\times 13 = 16}\)

On a bien \(\displaystyle{0 \leq 16 \lt 17}\).

Pour \(\displaystyle{b = 18}\) on obtient :

\(\displaystyle{r = 237 - 18\times 13 = 3}\)

On a bien \(\displaystyle{0 \leq 3\lt 18}\).

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant le ou les couple(s) \(\displaystyle{\left(b; r\right)}\) solutions.

Les valeurs possibles de b et de r sont :

  • \(\displaystyle{b = 17}\) et \(\displaystyle{r = 16}\)
  • \(\displaystyle{b = 18}\) et \(\displaystyle{r = 3}\)