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Utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle pour transformer une expression

Il est possible de transformer une expression à l'aide des propriétés algébriques de l'exponentielle.

Démontrer l'égalité suivante :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{1}{e^{-2x}+1}}\)

Etape 1

Identifier l'exponentielle à transformer

On identifie l'exponentielle à transformer.

Dans le membre de gauche, il y a un terme \(\displaystyle{e^{3x}}\) qui n'apparaît pas dans le membre de droite. Il faut le modifier.

Etape 2

Effectuer une opération sur l'expression à modifier

Afin de transformer l'expression, on utilise :

  • La factorisation
  • La multiplication du numérateur et du dénominateur par une même exponentielle

Ici, on factorise le numérateur et le dénominateur par \(\displaystyle{e^{3x}}\). On obtient :

\(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{e^{3x} \times 1}{e^{3x}\left(\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}}+\dfrac{e^{x}}{e^{3x}}\right)}}\)

Etape 3

Utiliser les formules du cours

On utilise des formules du cours afin de simplifier l'expression. On cite la formule utilisée à chaque fois.

On sait que, pour tous réels a et b :

\(\displaystyle{\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}}\)

Ainsi, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{e^{3x} \times 1}{e^{3x}\left(1+e^{x-3x}\right)}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{e^{3x} \times 1}{e^{3x}\left(1+e^{-2x}\right)}}\)

On simplifie par \(\displaystyle{e^{3x}}\), on en déduit que, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\dfrac{e^{3x}}{e^{3x}+e^x} = \dfrac{1}{1+e^{-2x}}}\)