Étudier un problème géométrique à l'aide d'une équation du second degréProblème

Soient A, B et C trois points non alignés tels que ABC soit un triangle rectangle en A, AB=12 et AC=5. Le point M est un point du segment \left[ AC \right]. On note AM=x \left(0\leqslant x\leqslant 5\right). A tout point M on associe un point N du segment \left[ AB \right] tel que BN=2x.

On note f\left(x\right) l'aire du triangle AMN.

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Calculer l'aire f\left(x\right) de AMN.

Donner le tableau de variations de f et justifier qu'il existe une valeur de x telle que l'aire de AMN soit maximale. Déterminer cette valeur de x ainsi que l'aire maximale du triangle.

Donner un encadrement de f\left(x\right) puis déterminer, suivant les valeurs de k, le nombre de solution de l’équation f\left(x\right)=k

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