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Asymptote oblique et position relative

Difficulté
15-20 MIN
1 / 2

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left]-1\,;\,+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{2 \; x^{2} + 5 \; x + 8}{x + 1}}\).

On note \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \(\displaystyle{\left(O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)}\).

1

Étudier les variations de la fonction f sur son ensemble de définition.

2

Dans un repère orthogonal, tracer \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) et les asymptotes rencontrées dans l'exercice.

3

On s'intéresse à la fonction f.

a

Déterminer les limites de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) aux bornes de l'ensemble de définition de f.

b

En déduire d'éventuelles asymptotes à la courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}}\).

4

On s'intéresse maintenant à l'asymptote.

a

Montrer que la droite D d'équation \(\displaystyle{y=2x+3}\) est asymptote à \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) au voisinage de \(\displaystyle{+\infty}\).

b

Étudier la position relative de \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) et de D.

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