Démontrer l'alignement de trois manières différentes Problème

On considère un triangle ABC et les points A', B' et C' milieux respectifs des segments \(\displaystyle{\left[ BC \right]}\), \(\displaystyle{\left[ AC \right]}\) et \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\).

On appelle I le milieu du segment \(\displaystyle{\left[ AB' \right]}\) et J le symétrique de A' par rapport à B.

L'objectif est de montrer que les points I, C' et J sont alignés par trois méthodes différentes.

Construire une figure correspondant à la situation.

Dans le repère \(\displaystyle{\left(C;\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)}\), déterminer les coordonnées de chacun des points nommés précédemment.

Démontrer que les points I, C' et J sont alignés.

Dans le repère \(\displaystyle{\left(C;\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)}\), déterminer une équation de chacune des droites \(\displaystyle{\left( IC' \right)}\) et \(\displaystyle{\left( IJ \right)}\).

Conclure.

Sans utiliser de repère, exprimer les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{IC'}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{IJ}}\) en fonction des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\).

a

En déduire que les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{IC'}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{IJ}}\) sont colinéaires.

b

Conclure.

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