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Les points remarquables dans un triangle et la droite d'Euler

Difficulté
15-20 MIN
1 / 2

Dans un repère orthonormé \(\displaystyle{\left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)}\) du plan, on donne les points :

\(\displaystyle{A\left(-1,-2\right), B\left(4,1\right)}\) et \(\displaystyle{C\left(0;3\right)}\)

On appelle A', B' et C' les milieux respectifs des côtés \(\displaystyle{\left[ BC \right]}\), \(\displaystyle{\left[ AC \right]}\) et \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\) du triangle ABC.

On appelle H (respectivement G et I) l'orthocentre (respectivement le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Le but est de montrer que les trois points H, G et I sont alignés.

1

Construire une figure correspondant à la situation.

2

En utilisant les produits scalaires \(\displaystyle{\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}}\), déterminer les coordonnées du point H.

3

Déterminer les coordonnées du point G.

4

En utilisant les produits scalaires \(\displaystyle{\overrightarrow{B'I}\cdot\overrightarrow{AC}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{C'I}\cdot\overrightarrow{AB}}\), déterminer les coordonnées du point I.

5

Conclure.

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