Les points remarquables dans un triangle et la droite d'Euler Problème

Dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right) du plan, on donne les points :

A\left(-1,-2\right), B\left(4,1\right) et C\left(0;3\right)

On appelle A', B' et C' les milieux respectifs des côtés \left[ BC \right], \left[ AC \right] et \left[ AB \right] du triangle ABC.

On appelle H (respectivement G et I) l'orthocentre (respectivement le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Le but est de montrer que les trois points H, G et I sont alignés.

Construire une figure correspondant à la situation.

En utilisant les produits scalaires \overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}, déterminer les coordonnées du point H.

Déterminer les coordonnées du point G.

En utilisant les produits scalaires \overrightarrow{B'I}\cdot\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{C'I}\cdot\overrightarrow{AB}, déterminer les coordonnées du point I.

Conclure.

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