Les points remarquables dans un triangle et la droite d'EulerProblème

Dans un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right) du plan, on donne les points :

T\left(-2{,}1\right), R\left(3{,}2\right) et I\left(1;-1\right)

On appelle T', R' et I' les milieux respectifs des côtés \left[ RI \right], \left[ TI \right] et \left[ TR \right] du triangle TRI.

On appelle H (respectivement G et F) l'orthocentre (respectivement le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit au triangle TRI.

Le but est de montrer que les trois points F, G et H sont alignés.

Construire une figure correspondant à la situation.

En utilisant les produits scalaires \overrightarrow{IH}\cdot\overrightarrow{TR} et \overrightarrow{RH}\cdot\overrightarrow{TI}, déterminer les coordonnées du point H.

Déterminer les coordonnées du point G.

En utilisant les produits scalaires \overrightarrow{R'F}\cdot\overrightarrow{TI} et \overrightarrow{I'F}\cdot\overrightarrow{TR}, déterminer les coordonnées du point F.

Conclure.

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