Retrouver des propriétés grâce aux projetés orthogonauxProblème

On considère un triangle ABC et une droite \left( d \right) passant par C.
On désigne par H et K les projetés orthogonaux de A et B sur \left( d \right) et, par M le point d'intersection de la perpendiculaire menée de H à \left( BC \right) et de la perpendiculaire menée de K à \left( AC \right).

On cherche à montrer que les droites \left( CM \right) et \left( AB \right) sont perpendiculaires.

Tracer une figure représentant la situation.

Montrer que \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CK}, puis que \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{CK}.

Montrer que \overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{CK}.

En déduire \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CM}.

Conclure.

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