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Retrouver des propriétés grâce aux projetés orthogonaux Problème

Difficulté
15-20 MIN
2 / 2

On considère un triangle ABC et une droite \(\displaystyle{\left( d \right)}\) passant par C.
On désigne par H et K les projetés orthogonaux de A et B sur \(\displaystyle{\left( d \right)}\) et, par M le point d'intersection de la perpendiculaire menée de H à \(\displaystyle{\left( BC \right)}\) et de la perpendiculaire menée de K à \(\displaystyle{\left( AC \right)}\).

On cherche à montrer que les droites \(\displaystyle{\left( CM \right)}\) et \(\displaystyle{\left( AB \right)}\) sont perpendiculaires.

1

Tracer une figure représentant la situation.

2

Montrer que \(\displaystyle{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CK}}\), puis que \(\displaystyle{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{CK}}\).

3

Montrer que \(\displaystyle{\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{CK}}\).

4

En déduire \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CM}}\).

5

Conclure.

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