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Appliquer la deuxième loi de Newton au mouvement d'une planète

Le mouvement des planètes et des satellites se résume à l'étude de l'interaction gravitationnelle entre un objet en mouvement de masse m et un astre attracteur de masse M (M étant très grand devant m).

Dans le cadre des mouvements circulaires uniformes, l'application de la deuxième loi de Newton permet de déterminer l'expression de la vitesse orbitale du système en mouvement.

Titan est l'un des satellites imposants de Saturne. À l'aide de la deuxième loi de Newton, déterminer l'expression de sa vitesse orbitale \(\displaystyle{v_T}\). On considérera le mouvement de Titan comme circulaire uniforme autour de Saturne.

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Etape 1

Définir le référentiel attaché à l'astre attracteur

On définit le référentiel supposé galiléen attaché à l'astre attracteur :

  • Si la Terre est l'astre attracteur, le référentiel est le référentiel géocentrique.
  • Si le Soleil est l'astre attracteur, le référentiel est le référentiel héliocentrique.

Le référentiel, supposé galiléen, est le référentiel "géocentrique" centré sur Saturne, également appelé référentiel saturnocentrique.

Etape 2

Définir le système en mouvement autour de l'astre attracteur

On définit le système en mouvement autour de l'astre attracteur.

Le système est le satellite Titan en révolution autour de Saturne.

Etape 3

Faire le bilan des forces

On effectue le bilan des forces. Il se limite à l'interaction gravitationnelle entre l'astre attracteur et le système.

Pour effectuer le bilan des forces, on regarde les forces en présence. Il n'y a que la force d'interaction gravitationnelle entre Saturne et Titan.

Etape 4

Exprimer la force de gravitation universelle \(\displaystyle{\overrightarrow{F_g}}\) modélisant l'interaction gravitationnelle entre le système S et l'astre attracteur A

On exprime la force d'interaction entre le système S et l'astre attracteur A :

\(\displaystyle{\overrightarrow{F_{g_{A/S}}} = G \times \dfrac{m \times M}{r^2} \times \overrightarrow{e_{S/A}}}\)

Avec :

  • G la constante universelle de gravitation (dont la valeur est donnée dans l'énoncé)
  • r la distance entre le système S et l'astre attracteur A (en m)

Cette force entre Titan et Saturne est :

\(\displaystyle{\overrightarrow{F_{g_{S/T}}} = G \times \dfrac{M_S \times M_T}{r^2} \times \overrightarrow{u}}\)

Avec :

  • G la constante universelle de gravitation
  • r la distance entre Titan et Saturne
  • \(\displaystyle{M_S}\) et \(\displaystyle{M_T}\) respectivement les masses de Saturne et de Titan
  • \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) un vecteur unitaire selon la droite (TS)
Etape 5

Rappeler la deuxième loi de Newton

On rappelle la deuxième loi de Newton : dans un référentiel galiléen, la variation temporelle de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures qui s'appliquent sur le système.

\(\displaystyle{m \times \overrightarrow{a\left(t\right)} = \dfrac{d\overrightarrow{p\left(t\right)}}{dt} = \sum_{i}^{} \overrightarrow{F_i}}\)

Dans un référentiel galiléen, la variation temporelle de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures qui s'appliquent sur le système. On a alors :

\(\displaystyle{m \times \overrightarrow{a\left(t\right)} = \dfrac{d\overrightarrow{p\left(t\right)}}{dt} = \sum_{i}^{} \overrightarrow{F_i}}\)

Etape 6

Appliquer la deuxième loi de Newton dans le cas du système S

On applique la deuxième loi de Newton dans le cas du système S en interaction avec l'astre attracteur A :

\(\displaystyle{m \times \overrightarrow{a_S\left(t\right)} = \dfrac{d\overrightarrow{p_S\left(t\right)}}{dt} = \overrightarrow{F_{g_{A/S}}}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow m \times \overrightarrow{a_S\left(t\right)} = G \times \dfrac{m \times M}{r^2} \times \overrightarrow{e_{S/A}}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow m \times a_S\left(t\right) = G \times \dfrac{m \times M}{r^2}}\)

Dans le cas de Titan, on obtient :

\(\displaystyle{M_T \times \overrightarrow{a_T\left(t\right)} = \dfrac{d\overrightarrow{p_T\left(t\right)}}{dt} = \overrightarrow{F_{g_{S/T}}}}\)

\(\displaystyle{M_T \times \overrightarrow{a_T\left(t\right)} = G \times \dfrac{M_T \times M_S}{r^2} \times \overrightarrow{u}}\)

\(\displaystyle{M_T \times a_T\left(t\right) = G \times \dfrac{M_T \times M_S}{r^2}}\)

Etape 7

Rappeler la relation liant l'accélération, la vitesse et le rayon de l'orbite lors d'un mouvement circulaire uniforme

On rappelle que dans le cas où le mouvement est circulaire uniforme, l'accélération \(\displaystyle{a_S\left(t\right)}\) du système est liée à sa vitesse \(\displaystyle{v_S\left(t\right)}\) et au rayon de l'orbite r par la relation suivante :

\(\displaystyle{a_S\left(t\right) = \dfrac{v_S^2\left(t\right)}{r}}\)

Or, dans le cas où le mouvement est circulaire uniforme, l'accélération \(\displaystyle{a_T\left(t\right)}\) de Titan est donnée par la formule :

\(\displaystyle{a_T\left(t\right) = \dfrac{v_T^2\left(t\right)}{r}}\)

Etape 8

Remplacer l'accélération par son expression dans la seconde loi de Newton

On remplace l'accélération \(\displaystyle{a_S\left(t\right)}\) par son expression en fonction de la vitesse et du rayon dans la seconde loi de Newton :

\(\displaystyle{ m \times a_S\left(t\right) = G \times \dfrac{m \times M}{r^2}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow m \times \dfrac{v^2_S\left(t\right)}{r} = G \times \dfrac{m \times M}{r^2}}\)

Ainsi, on obtient :

\(\displaystyle{ M_T \times a_T\left(t\right) = G \times \dfrac{M_T \times M_S}{r^2}}\)

\(\displaystyle{M_T \times \dfrac{v^2_T\left(t\right)}{r} = G \times \dfrac{M_T \times M_S}{r^2}}\)

Etape 9

Manipuler la relation pour exprimer la vitesse orbitale \(\displaystyle{v_S}\) en fonction des autres paramètres

On manipule l'expression pour obtenir l'expression de la vitesse orbitale \(\displaystyle{v_S}\) du système S en fonction des autres paramètres :

\(\displaystyle{m \times \dfrac{v^2_S\left(t\right)}{r} = G \times \dfrac{m \times M}{r^2}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \dfrac{v^2_S\left(t\right)}{r} = G \times \dfrac{ M}{r^2}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow v^2_S\left(t\right) = G \times \dfrac{ M}{r}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow v_S\left(t\right) = \sqrt{G \times \dfrac{ M}{r}}}\)

On obtient l'expression de la vitesse orbitale \(\displaystyle{v_T}\) de Titan :

\(\displaystyle{M_T \times \dfrac{v^2_T\left(t\right)}{r} = G \times \dfrac{M_T \times M_S}{r^2}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{v^2_T\left(t\right)}{r} = G \times \dfrac{ M_S}{r^2}}\)

\(\displaystyle{v^2_T\left(t\right) = G \times \dfrac{ M_S}{r}}\)

\(\displaystyle{v_T\left(t\right) = \sqrt{G \times \dfrac{ M_S}{r}}}\)