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Déterminer si un point appartient à une droite

Un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient à une droite D si ses coordonnées vérifient une équation de D.

Le plan est muni d'un repère \(\displaystyle{\left(O ,I , J\right)}\). Soit la droite D d'équation \(\displaystyle{y = -2x+3}\).

Le point \(\displaystyle{A\left(-7;17\right)}\) appartient-il à la droite D ?

Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle qu'un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de la droite.

D'après le cours, le point A appartient à la droite D si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de D.

Etape 2

Donner l'équation de la droite fournie par l'énoncé

On rappelle l'équation de la droite donnée dans l'énoncé.

La droite D admet pour équation \(\displaystyle{y = -2x+3}\).

Etape 3

Rappeler les coordonnées du point

On rappelle les coordonnées du point.

Le point A a pour coordonnées \(\displaystyle{A\left(-7 ; 17\right)}\).

Etape 4

Conclure

On place l'abscisse du point A dans l'équation de la droite, et on conclut :

  • Si l'on obtient bien l'ordonnée de A, alors A appartient à la droite.
  • Si l'on obtient un nombre différent de l'ordonnée de A, alors A n'appartient pas à la droite.

Le point A appartient à la droite D si et seulement si \(\displaystyle{y_A = -2x_A +3}\).

Or :

\(\displaystyle{-2x_A +3 = -2 \times \left(-7\right) +3 = 14 +3 = 17}\)

Et on sait que \(\displaystyle{y_A=17}\).

Donc on a bien \(\displaystyle{y_A = -2x_A +3}\).

On en déduit que \(\displaystyle{A\in D}\).

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