Seconde 2016-2017
Kartable
Seconde 2016-2017

Géométrie dans l'espace

I

Les solides de référence

A

La perspective cavalière

Perspective cavalière

La perspective cavalière ou parallèle est une forme de représentation des solides. Elle a la particularité de conserver le parallélisme.

-

En perspective cavalière, trois points alignés sont représentés par trois points alignés.

Attention, la réciproque est fausse.

-

Les points A, B et C semblent alignés mais ce n'est pas le cas. Ils sont situés sur 3 arêtes distinctes.

En perspective cavalière, le milieu d'un segment est représenté par le milieu du segment dessiné.

En perspective cavalière, les arêtes visibles sont représentées en trait plein et celles qui sont invisibles en pointillés.

En perspective cavalière, dans un plan de face, des droites perpendiculaires sont représentées par des droites perpendiculaires. Pour les plans qui ne sont pas de face, cela n'est pas respecté.

-

Dans le parallélépipède rectangle ABCDEFGH, on a (AB) (BF) et (BC) (BF).

Cependant, sur le dessin en perspective, les droites (AB) et (BF) apparaissent bien perpendiculaires, car elles sont dans un plan de face, alors que les droites (BC) et (BF) ne semblent pas orthogonales.

B

Le parallélépipède rectangle et le cube

Parallélépipède rectangle

Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide à six faces dont toutes les faces sont des rectangles.

-

Les faces opposées d'un parallélépipède rectangle sont parallèles.

Volume d'un parallélépipède

Le volume V d'un parallélépipède rectangle est égal à :

V=L×l×h

-

Le volume de ce parallélépipède rectangle est égal à :

V=6×5×3=90 cm3

Dans la formule du volume du parallélépipède rectangle, les trois distances doivent être exprimées dans la même unité.

-

Un cube est un parallélépipède dont les faces sont des carrés.

C

La pyramide et le tétraèdre

Pyramide

On définit une pyramide à partir d'une base polygonale d'aire B et d'un sommet S. Soit H le projeté orthogonal de S sur la base, on appelle hauteur h de la pyramide la longueur SH.

-

Dans une pyramide, toutes les faces autres que la base sont des triangles.

Volume d'une pyramide

Le volume V d'une pyramide est égal à :

V=13×h×B

h est la hauteur de la pyramide et B l'aire de la base correspondante.

-

La pyramide à base carrée ci-dessus a pour volume :

V=13×7×(6×6)=84 cm3

Tétraèdre

Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle.

D

Le cylindre de révolution

Cylindre de révolution

On définit un cylindre de révolution à partir de deux bases circulaires parallèles de rayon R, telles que le projeté orthogonal du centre d'une base sur l'autre soit également le centre de la base sur laquelle on projette. On appelle hauteur du cylindre de révolution la distance entre les centres des deux bases et on la note h.

-

Volume d'un cylindre de révolution

Le volume V d'un cylindre de révolution est égal à :

V=h×πR2

-

Le volume V du cylindre de révolution ci-dessus est égal à :

V=π×32×7=π×9×7=63π cm3

E

Le cône de révolution

Cône de révolution

On définit un cône de révolution à partir d'un disque de rayon R et d'un sommet S, tel que le projeté orthogonal H de S sur le disque de base soit le centre de ce disque. On appelle hauteur du cône la longueur SH et on la note h.

-

Volume d'un cône

Le volume V d'un cône de révolution est égal à :

V=13×h×πR2

-

Le volume du cône ci-dessus est :

V=13×10×π×62=120π cm3

Soit :

V377 cm3

F

La sphère et la boule

Boule

La boule de centre O et de rayon R est définie comme l'ensemble des points de l'espace situés à une distance inférieure ou égale à R du point O.

-

Sphère

La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance R du point O.

Volume d'une boule

Le volume V d'une boule de rayon R est égal à :

V=43×πR3

-

Le volume de la boule ci-dessus est :

V=43×π×63=8643π=288π cm3

Aire d'une sphère

L'aire A d'une sphère de rayon R est donnée par la formule suivante :

A=4πR2

L'aire d'une sphère de rayon 6 cm est :

A=4×π×62=144π452,16 cm2

II

Caractérisation des droites et plans de l'espace

A

Les droites de l'espace

Droite

Une droite est définie par deux points distincts.

-

Sur le schéma ci-dessus, les points A et B définissent une droite notée (AB).

B

Les plans de l'espace

Plan

Un plan est défini par trois points non alignés.

-

Les trois points A, B et C définissent un plan que l'on note (ABC).

III

Les positions relatives dans l'espace

A

La position relative de deux droites

Deux droites de l'espace peuvent être coplanaires si elles sont contenues dans le même plan, ou non coplanaires dans le cas contraire.

-

L'intersection de deux droites non coplanaires est vide.

Deux droites coplanaires de l'espace peuvent être sécantes en un point ou parallèles.

-

Deux droites parallèles de l'espace peuvent être strictement parallèles ou confondues.

L'intersection de deux droites confondues est une droite.

-
B

La position relative d'une droite et d'un plan

Une droite peut être contenue dans un plan, sécante avec le plan ou strictement parallèle au plan.

L'intersection d'un plan (P) avec une droite (D) strictement parallèle à (P) est vide.

-

L'intersection d'une droite (D) contenue dans un plan (P), avec ce plan (P) est la droite (D).

-

L'intersection d'un plan (P) avec une droite (D) sécante est un point.

-
C

La position relative de deux plans

Deux plans peuvent être sécants, parallèles (strictement ou confondus).

Si deux plans sont parallèles alors ils sont soit strictement parallèles, soit confondus.

L'intersection de deux plans confondus est un plan.

-

L'intersection de deux plans strictement parallèles est vide.

-

L'intersection de deux plans sécants est une droite.

-
D

Plans parallèles et droites parallèles

Plans et droites parallèles

Si un plan coupe deux plans parallèles, alors les droites d'intersection sont parallèles.

-

Théorème du toit

Soient deux plans P et P' ayant pour intersection la droite Δ. Si (d) appartenant à P et (d') appartenant à P' sont parallèles, alors ces deux droites sont également parallèles à Δ.

-
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