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Démontrer qu'une droite et un plan sont parallèles

Dans l'espace, les positions relatives d'un plan et d'une droite sont les suivantes :

  • La droite et le plan sont sécants (en un point).
  • La droite est strictement parallèle au plan (aucun point commun).
  • La droite et le plan sont confondus (une infinité de points communs).

Dans les deux derniers cas, on dit que la droite est parallèle au plan.

On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH. Montrer que la droite \(\displaystyle{\left(AC\right)}\) est parallèle au plan \(\displaystyle{\left(EFG\right)}\).

Etape 1

Déterminer un plan parallèle au plan demandé et contenant la droite

On souhaite montrer que la droite \(\displaystyle{\Delta}\) et le plan P sont parallèles. On détermine un plan P' qui est parallèle au plan P et qui contient la droite \(\displaystyle{\Delta}\).

On réalise une figure :

-

Comme ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle, on sait que les plans \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\) et \(\displaystyle{\left(EFG\right)}\) sont parallèles.

De plus, la droite \(\displaystyle{\left(AC\right)}\) est incluse dans le plan \(\displaystyle{\left(ABC\right)}\).

Etape 2

Conclure

On en conclut que la droite et le plan P sont parallèles.

\(\displaystyle{\left(AC\right)}\) est incluse dans un plan parallèle au plan \(\displaystyle{\left(EFG\right)}\). Donc la droite \(\displaystyle{\left(AC\right)}\) est bien parallèle au plan \(\displaystyle{\left(EFG\right)}\).

Le point A n'appartenant pas au plan \(\displaystyle{\left(EFG\right)}\), on peut ajouter que la droite \(\displaystyle{\left(AC\right)}\) est strictement parallèle au plan.

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