Seconde 2016-2017

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Reconnaître un quadrilatère particulier

Un quadrilatère, s'il n'est pas quelconque, peut être un trapèze, un parallélogramme, un losange, un rectangle ou un carré. Connaître les propriétés caractéristiques de ces quadrilatères permet de les identifier.

On considère le quadrilatère ABCD suivant :

-

Déterminer la nature de ABCD.

Etape 1

Déterminer si c'est un trapèze

On rappelle qu'un quadrilatère non croisé est un trapèze si et seulement si deux de ses côtés sont parallèles.

On détermine donc si le quadrilatère est un trapèze. Si ce n'est pas le cas, on conclut que la figure est un quadrilatère quelconque.

Un quadrilatère non croisé est un trapèze si et seulement si deux de ses côtés sont parallèles.

\(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) semblent être parallèles. Le quadrilatère ABCD semble donc être un trapèze.

Etape 2

Déterminer si c'est un parallélogramme

Un trapèze est un parallélogramme si et seulement si l'une des conditions suivantes est vérifiée :

  • Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
  • Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux.
  • Deux de ses côtés sont parallèles et de même longueur.
  • Ses diagonales se coupent en leur milieu.

On détermine alors si le trapèze est un parallélogramme. Si ce n'est pas le cas, on conclut que la figure est un trapèze.

On remarque de plus que \(\displaystyle{\left(AD\right) // \left(BC\right)}\). Donc les côtés opposés de ABCD sont parallèles deux à deux.

On en déduit que ABCD est un parallélogramme.

Etape 3

Déterminer si c'est un losange ou un rectangle

Un parallélogramme est un losange si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :

  • Deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur.
  • Ses diagonales sont perpendiculaires.

Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est vérifiée :

  • Un de ses angles est droit.
  • Ses diagonales sont de même longueur.

On détermine si le parallélogramme est un losange et/ou un rectangle. Si ce n'est pas le cas, on conclut que la figure est un parallélogramme.

On remarque que \(\displaystyle{AB = BC}\). Donc deux côtés consécutils du parallélogramme ABCD sont de même longueur. On en déduit que ABCD est un losange.

En revanche, le quadrilatère ABCD ne présente pas d'angle droit. On en déduit que ABCD n'est pas un rectangle.

Etape 4

Déterminer si c'est un carré

Si le quadrilatère est à la fois un rectangle et un losange, alors c'est un carré.

Le quadrilatère ABCD est un losange mais pas un rectangle. On en déduit que ce n'est pas un carré.

Finalement, ABCD est un losange.

Chapitre 7 Géométrie plane
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