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Déterminer le cosinus d'un angle à partir de son sinus, et réciproquement

Lorsque l'on connaît la valeur d'un cosinus, on peut déterminer la valeur du sinus correspondant sur un intervalle I donné grâce à la formule \(\displaystyle{cos^2\left(x\right)+ sin^2\left(x\right) = 1}\).

Soit \(\displaystyle{x \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]}\). On sait que \(\displaystyle{\cos \left(x\right) = \dfrac{1+\sqrt 2 }{3}}\).

Déterminer \(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\).

Etape 1

Rappeler l'égalité \(\displaystyle{cos^2\left(x\right)+sin^2\left(x\right)=1}\)

On rappelle que, pour tout \(\displaystyle{x \in \mathbb{R}}\) :

\(\displaystyle{cos^2\left(x\right)+sin^2\left(x\right)=1}\)

D'après le cours, on sait que, pour tout \(\displaystyle{x \in \mathbb{R}}\) :

\(\displaystyle{cos^2\left(x\right)+sin^2\left(x\right)=1}\)

Etape 2

Remplacer la valeur connue de \(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\) ou \(\displaystyle{\cos\left(x\right)}\)

On distingue deux cas.

Si l'on sait que \(\displaystyle{\cos \left(x\right)=a}\), l'équation devient :

\(\displaystyle{a^2 +sin^2\left(x\right) = 1 \Leftrightarrow sin^2\left(x\right) = 1-a^2}\)

Donc \(\displaystyle{\sin \left(x\right) = \sqrt{1-a^2}}\) ou \(\displaystyle{\sin \left(x\right) =- \sqrt{1-a^2}}\)

Si l'on sait que \(\displaystyle{\sin\left(x\right)=a}\), l'équation devient :

\(\displaystyle{cos^2\left(x\right) +a^2 = 1 \Leftrightarrow cos^2\left(x\right) = 1-a^2}\)

Donc \(\displaystyle{\cos\left(x\right) = \sqrt{1-a^2}}\) ou \(\displaystyle{\cos\left(x\right) = -\sqrt{1-a^2}}\)

On sait que \(\displaystyle{\cos \left(x\right) = \dfrac{1+\sqrt 2 }{3}}\).

Donc l'équation devient :

\(\displaystyle{\left(\dfrac{1+\sqrt 2 }{3}\right)^2 + sin^2\left(x\right) = 1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow sin^2\left(x\right) = 1 - \left(\dfrac{1+\sqrt 2 }{3}\right)^2 }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow sin^2\left(x\right) = 1 - \dfrac{1+2\sqrt 2 +2 }{9} }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow sin^2\left(x\right) = \dfrac{9}{9} - \dfrac{3+2\sqrt 2 }{9} }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow sin^2\left(x\right) = \dfrac{6-2\sqrt 2 }{9} }\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{\sin\left(x\right) = \sqrt {\dfrac{6-2\sqrt 2 }{9} }}\) ou \(\displaystyle{\sin\left(x\right) = -\sqrt {\dfrac{6-2\sqrt 2 }{9} }}\)

Etape 3

Rappeler l'intervalle d'étude

On rappelle que l'on cherche à résoudre l'équation sur l'intervalle I. On en conclut le signe de \(\displaystyle{\cos\left(x\right)}\) ou de \(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\), selon ce que l'on cherche. On pourra s'aider d'un cercle trigonométrique.

D'après l'énoncé, on sait que \(\displaystyle{x \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right]}\).

-

Donc \(\displaystyle{\sin\left(x\right) \geq 0}\).

Etape 4

Donner la solution cherchée en fonction de l'intervalle donné

On sélectionne la solution vérifiant la condition de signe précédente et on conclut.

On obtient donc :

\(\displaystyle{\sin\left(x\right) = \sqrt {\dfrac{6-2\sqrt 2 }{9} }}\)

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