Seconde 2016-2017
Kartable
Seconde 2016-2017

Les équations

I

La résolution algébrique d'équations

A

Les équations du premier degré

Equation du premier degré

On résout une équation du premier degré en isolant l'inconnue dans un membre. La solution apparaît ainsi dans l'autre membre.

On résout dans l'équation 3x+4x+10=5(x2).

Pour tout réel x :

3x+4x+10=5x10

4+10+10=5x3x+x

24=3x

x=243=8

La solution de l'équation est 8.

B

Les équations du second degré

On résout une équation du second degré en regroupant tous les termes dans un même membre, puis en factorisant de manière à obtenir un produit de facteurs du premier degré égal à zéro.

Produit de facteurs nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.

On résout dans l'équation x22x=x.

Pour tout réel x :

x22xx=0

x23x=0

x(x3)=0

Or, un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs au moins est nul. On en déduit que :

x=0 ou x3=0

C'est-à-dire :

x=0 ou x=3

Cette équation admet donc deux solutions : 0 et 3.

C

Quotient nul

On résout une équation présentant des quotients en regroupant tous les termes dans un même membre, puis en réduisant tous les quotients au même dénominateur de manière à obtenir un unique quotient égal à zéro.

Quotient nul

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur ne l'est pas.

Veiller aux valeurs interdites (réels annulant le dénominateur), qui ne peuvent être solutions.

On résout dans l'équation suivante :

2x1x=x+12x

Dans cette équation, il y a une valeur interdite qui est 0. En effet si x=0 alors le dénominateur de chaque fraction s'annule.

On obtient, pour tout réel x non nul :

2x1xx+12x=0

2(2x1)2xx+12x=0

2(2x1)(x+1)2x=0

4x2x12x=0

3x32x=0

Un quotient de dénominateur non nul est nul si et seulement si son numérateur est nul. L'équation devient donc :

3x3=0

3x=3

x=33=1

On remarque que 10, donc l'équation a pour solution 1.

D

Les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues

Équation linéaire à deux inconnues

Une équation linéaire à deux inconnues x et y est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax+by=c, où a, b et c sont des réels tels que a et b ne soient pas nuls en même temps.

Système de deux équations linéaires à deux inconnues

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un ensemble formé de deux équations linéaires impliquant les mêmes inconnues, désignées en général par x et y. On le note de la manière suivante :

ax+by=cax+by=c

a et b ne sont pas nuls en même temps, tout comme a' et b'.

Les solutions d'un tel système sont tous les couples de nombres (x;y) vérifiant chacune des deux équations.

Le système à deux équations et deux inconnues suivant : 5x+3y=22x+y=1 a pour unique solution le couple (5 ; −9).

On peut tester les valeurs de ce couple dans le système. Pour x=5 et y=9, on a :

  • 5x+3y=5×5+3×(9)=2527=2
  • 2x+y=2×5+(9)=109=1

Le couple (5 ; −9) est bien solution du système car il vérifie chacune des deux équations de ce dernier.

Interprétation géométrique :

On se place dans le plan muni d'un repère (O;i,j). On considère le système :

ax+by=cax+by=c

a et b ne sont pas nuls en même temps, tout comme a' et b'. On note :

  • d1 la droite d'équation ax+by=c
  • d2 la droite d'équation ax+by=c
Cas 1

Si b=b=0

Dans ce cas, les droites d1 et d2 sont parallèles à l'axe des ordonnées.

  • Elles peuvent être confondues, auquel cas le système admet une infinité de solutions.
  • Elles peuvent être strictement parallèles, auquel cas le système n'admet aucune solution.
Cas 2

Si b=0 et b0

Dans ce cas, d1 est parallèle à l'axe des ordonnées et d2 ne l'est pas. Ainsi, d1 et d2 sont sécantes, et le système admet une unique solution.

Cas 3

Si b0 et b0

Dans ce cas, d1 et d2 sont des droites non parallèles à l'axe des ordonnées. Trois cas se présentent :

  • Elles peuvent être confondues, auquel cas le système admet une infinité de solutions.
  • Elles peuvent être sécantes, auquel cas le système admet une unique solution.
  • Elles peuvent être strictement parallèles, auquel cas le système n'admet aucune solution.

Déterminant d'un système

Soit (S) le système suivant :

ax+by=cax+by=c

Le nombre abab est appelé déterminant du système (S).

Avec les notations précédentes :

  • Si abab0, le système (S) admet une uniquement solution.
  • Si abab=0, le système (S) n'admet aucune solution ou admet une infinité de solutions.
-

On considère de nouveau le système linéaire suivant :

(S):2x=48x+4y=12

Le déterminant du système est :

2×4+8×0=80

On retrouve bien que le système admet une unique solution.

Résolution par la méthode de substitution

Pour résoudre un système par la méthode de substitution, on exprime une des inconnues en fonction de l'autre dans la première équation, et on remplace cette inconnue par sa nouvelle expression dans la seconde équation. Cette seconde équation ne présente ainsi plus que la seconde inconnue, qu'il est alors possible de déterminer. Il ne reste qu'à remplacer la seconde inconnue par sa valeur dans la première équation pour en déduire la première inconnue.

On veut résoudre le système suivant par la méthode de substitution :

(S):xy=4 (1)2x+5y=6 (2)

Etape 1

Détermination du nombre de solutions du système

Le déterminant du système est :

1×52×(1)=5+2=70

Le système admet donc une unique solution.

Etape 2

Résolution

De l'équation (1), on déduit que :

x=4+y

On remplace x par 4+y dans l'équation (2), on obtient :

(S)x=4+y (1')2(4+y)+5y=6 (2')

On résout l'équation (2') pour obtenir la valeur de y :

(S)x=4+y (1')8+2y+5y=6 (2'')

x=4+y (1')7y=68 (2'')

x=4+y (1')y=147 (2'')

x=4+y (1')y=2 (2'')

On remplace y par sa valeur dans l'équation (1') et on obtient :

(S)x=4+(2)=2 (1')y=2 (2'')

Etape 3

Conclusion

Le système admet pour unique solution le couple (2;2).

Résolution par la méthode des combinaisons

Pour résoudre un système par la méthode des combinaisons, on multiplie les deux membres d'une équation par un nombre choisi judicieusement de sorte qu'en additionnant membre à membre les deux équations, une des inconnues disparaisse. On obtient ainsi une équation à une inconnue, qu'il est alors possible de déterminer. Il ne reste enfin plus qu'à remplacer cette inconnue par sa valeur dans une des deux équations, pour en déduire l'autre inconnue.

On veut résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons :

(S):6x5y=3 (1)2x3y=5 (2)

Etape 1

Détermination du nombre de solutions du système

Le déterminant du système est :

6×(3)2×(5)=18+10=80

Le système admet donc une unique solution.

Etape 2

Résolution

On multiplie les deux membres de l'équation (2) par (−3) et on obtient le système :

(S)6x5y=3 (1)6x+9y=15 (2')

On additionne membre à membre les équations (1) et (2') et on obtient, après avoir conservé une des deux équations de départ :

(S)2x3y (1')4y=12 (1)+(2')

On résout l'équation (2'') pour obtenir la valeur de y :

(S)2x3y (1')y=3 (2'')

On remplace ensuite la valeur de y dans l'équation (1) et on résout l'équation obtenue pour obtenir x :

(S)2x3×(3)=5 (1'')y=3 (2'')

(S)x=592=2 (1'')y=3 (2'')

Etape 3

Conclusion

Le système admet pour unique solution le couple (2;3).

II

La résolution graphique d'équations

A

Exactitude des solutions par résolution graphique

Les solutions d'une équation déterminées par une méthode graphique sont toujours des valeurs approchées. Le seul moyen d'avoir une valeur exacte est de résoudre l'équation algébriquement.

B

f(x)=a

Solutions de f(x)=a

Soient une fonction f et un réel a.
Les solutions de l'équation f(x)=a sont les éventuels antécédents de a par f, qui correspondent aux abscisses des points de la courbe représentative de f dont l'ordonnée est égale à a.

On détermine graphiquement les solutions de l'équation f(x)=a en relevant les abscisses des points d'intersection de la droite d'équation y=a avec la courbe représentative de f.

-

L'équation f(x)=2 admet trois solutions : 0,5, 2,13 et 3,9.

C

f(x)=g(x)

Solutions de f(x) = g(x)

Soient f et g deux fonctions.
Les solutions de l'équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de f avec celle de g.
-

L'équation f(x)=g(x) admet deux solutions : 0,5 et 2.

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.