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Résoudre une équation du type (u(x))2=a

Une équation du type \(\displaystyle{\left(u\left(x\right)\right)^2 = a}\) possède zéro, une ou plusieurs solutions en fonction du signe de a.

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation suivante :

\(\displaystyle{\left(-2x+5\right)^2 = 4}\)

Etape 1

Identifier le signe de a

Dans l'équation \(\displaystyle{\left(u\left(x\right)\right)^2 =a }\), on détermine si a est strictement négatif, nul ou strictement positif.

L'équation \(\displaystyle{\left(-2x+5\right)^2 = 4}\) est une équation du type \(\displaystyle{\left(u\left(x\right)\right)^2 = a}\), avec \(\displaystyle{a\gt 0}\).

Etape 2

Résoudre l'équation

On distingue trois cas :

  • Si \(\displaystyle{a \lt 0}\), l'équation \(\displaystyle{\left(u\left(x\right)\right)^2 = a}\) n'a pas de solution dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
  • Si \(\displaystyle{a =0}\), \(\displaystyle{\left(u\left(x\right)\right)^2 = 0 \Leftrightarrow u\left(x\right) = 0}\). On résout alors cette équation dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
  • Si \(\displaystyle{a \gt 0}\), \(\displaystyle{\left(u\left(x\right)\right)^2 = a \Leftrightarrow\begin{cases} u\left(x\right) = \sqrt a \cr ou \cr u\left(x\right) = -\sqrt a \end{cases}}\). On résout alors ces deux équations dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Ainsi, on sait que, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\left(-2x+5\right)^2 = 4}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} -2x+5 = \sqrt 4 \cr ou \cr -2x+5 =- \sqrt 4 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} -2x+5 =2 \cr ou \cr -2x+5 =-2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} -2x=-3 \cr ou \cr -2x=-7 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{3}{2} \cr ou \cr x=\dfrac{7}{2} \end{cases}}\)

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

\(\displaystyle{S =\left\{ \dfrac{3}{2}; \dfrac{7}{2}\right\}}\)

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