Seconde 2016-2017

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Les fonctions usuelles

I

Les fonctions affines

A

Définition

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui, à tout réel x, associe le réel \(\displaystyle{ax+b}\), où a et b sont des réels fixes. On note alors, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=ax+b}\)

La fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+5}\) est une fonction affine.

Toute fonction affine est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

B

Sens de variation et signe d'une fonction affine

Si \(\displaystyle{a \lt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

-
-

La fonction affine \(\displaystyle{f\left(x\right)=-x+1}\) représentée ci-dessus est une fonction décroissante car \(\displaystyle{a=-1\lt0}\). Elle est positive sur \(\displaystyle{\left]-\infty, 1 \right]}\) et négative sur \(\displaystyle{\left]1,+\infty \right[}\) car \(\displaystyle{-\dfrac{b}{a}=1}\).

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

-
-

La fonction affine \(\displaystyle{f\left(x\right)=x+1}\) représentée ci-dessus est une fonction croissante car \(\displaystyle{a=1\gt0}\). Elle est négative sur \(\displaystyle{\left]-\infty, -1 \right]}\) et positive sur \(\displaystyle{\left]-1,+\infty \right[}\) car \(\displaystyle{-\dfrac{b}{a}=-1}\).

Si a est non nul, l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=0}\) admet pour seule solution \(\displaystyle{x=-\dfrac{b}{a}}\).

\(\displaystyle{-\dfrac{b}{a}}\) est donc le seul antécédent de 0 par f.

Si \(\displaystyle{a= 0}\), \(\displaystyle{f}\) est constante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

-

La fonction représentée ci-dessus définie pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right)=3}\) est une fonction constante.

C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction affine est la droite d'équation \(\displaystyle{y=ax+b}\).

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

La courbe représentative d'une fonction affine, d'équation \(\displaystyle{y=ax+b}\), a pour coefficient directeur \(\displaystyle{a}\) et pour ordonnée à l'origine \(\displaystyle{b}\).

La droite d'équation \(\displaystyle{y=78x-45}\) a pour coefficient directeur 78 et pour ordonnée à l'origine −45.

  • Si \(\displaystyle{a = 0}\), la fonction est constante et l'image de n'importe quel réel est b. Sa droite représentative est "horizontale" (parallèle à l'axe des abscisses).
  • Si \(\displaystyle{b = 0}\), la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction affine définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax+b}\) pour laquelle on ne connaît ni la valeur de a ni la valeur de b. Si on connaît l'image par f de deux réels distincts \(\displaystyle{x_1}\) et \(\displaystyle{x_2}\), notées \(\displaystyle{f\left(x_1\right)=y_1}\) et \(\displaystyle{f\left(x_2\right)=y_2}\), on peut déterminer \(\displaystyle{a}\) puis b :

\(\displaystyle{a=\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}\)

\(\displaystyle{b=f\left(x_1\right)-ax_1}\) ou \(\displaystyle{b=f\left(x_2\right)-ax_2}\)

\(\displaystyle{f}\) est une fonction affine définie par \(\displaystyle{f\left(3\right)=2}\) et \(\displaystyle{f\left(8\right)=-7}\). On peut calculer le coefficient directeur :

\(\displaystyle{a=\dfrac{f\left(8\right)-f\left(3\right)}{8-3}=\dfrac{-7-2}{8-3}=\dfrac{-9}{5}}\)

On en déduit alors l'ordonnée à l'origine :

\(\displaystyle{b = f\left(3\right)-3a=2-3\times\left( -\dfrac{9}{5} \right)=2+\dfrac{27}{5}=\dfrac{37}{5}}\)

II

La fonction carré

Fonction carré

La fonction carré est la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^{2}}\)

La fonction carré est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty,0 \right]}\) et strictement croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0,+\infty \right[}\).

-

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère.

-

La fonction carré est toujours positive ou nulle.

La fonction carré est une fonction paire. Autrement dit, son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et, pour tout réel x, \(\displaystyle{f\left(-x\right)=f\left(x\right)}\).

Notons f la fonction carré. f étant paire, on a :

  • \(\displaystyle{f\left(-5\right)=f\left(5\right)}\)
  • \(\displaystyle{f\left(-3\right)=f\left(3\right)}\)
  • \(\displaystyle{f\left(-10\right)=f\left(10\right)}\)

Le tableau suivant donne quelques images de réels par la fonction carré :

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16

La fonction carré étant paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

  • Pour tous réels a et b, si \(\displaystyle{a\lt b\lt 0}\), alors \(\displaystyle{a^2 \gt b^2}\)
  • Pour tous réels a et b, si \(\displaystyle{0\lt a\lt b}\), alors \(\displaystyle{a^2 \lt b^2}\)

On peut donc dire que le passage au carré :

  • "Inverse l'ordre" avec les nombres négatifs.
  • "Conserve l'ordre" avec les nombres positifs.
III

La fonction inverse

A

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse est la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}}\)

B

Le sens de variation

La fonction inverse est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty,0 \right[}\) et sur \(\displaystyle{\left]0,+\infty \right[}\).

-
  • Pour tous réels a et b, si \(\displaystyle{a\lt b\lt 0}\), \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}\gt \dfrac{1}{b}}\)
  • Pour tous réels a et b, si \(\displaystyle{0\lt a\lt b}\), \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}\gt \dfrac{1}{b}}\)
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.

-

La fonction inverse est impaire. Autrement dit :

  • Son ensemble de définition, \(\displaystyle{\mathbb{R}^*}\), est centré en 0.
  • Pour tout réel x non nul, \(\displaystyle{f\left(-x\right)=-f\left(x\right)}\)

Dans un repère du plan, la courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.

IV

Les polynômes du second degré

Polynôme du second degré

Une fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) dont l'expression peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax^2+bx+c}\), où a, b et c sont des réels tels que \(\displaystyle{a\neq0}\), est appelée fonction polynôme du second degré ou trinôme.

La fonction définie pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x^2-6x+1}\) est une fonction polynôme du second degré avec \(\displaystyle{a=2}\), \(\displaystyle{b=-6}\) et \(\displaystyle{c=1}\).

Parabole

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est appelée parabole.

Sommet d'une parabole

On appelle sommet de la parabole le point S marquant l'extremum de la fonction.

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\) (avec \(\displaystyle{a\neq0}\) ).

  • Si \(\displaystyle{a\gt0}\), la parabole représentant f est orientée "vers le haut", autrement dit la fonction f est d'abord décroissante, puis croissante.
  • Si \(\displaystyle{a\lt0}\), la parabole représentant f est orientée "vers le bas", autrement dit la fonction f est d'abord croissante, puis décroissante.

Voici les courbes représentatives de plusieurs fonctions polynôme du second degré, avec \(\displaystyle{a\gt0}\).

-

Voici les courbes représentatives de plusieurs fonctions polynôme du second degré, avec \(\displaystyle{a\lt0}\).

-

L'expression de toute fonction polynôme du second degré \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\) peut s'écrire, de façon unique, sous la forme :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = a\left(x - \alpha \right)^{2} + \beta }\)

\(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta}\) sont des réels et a est le coefficient de \(\displaystyle{x^2}\).

Cette forme est appelée forme canonique de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) . Dans ce cas, le sommet S de la parabole représentative de f a pour coordonnées \(\displaystyle{\left( \alpha;\beta \right)}\).

On obtient :

  • \(\displaystyle{\alpha=\dfrac{-b}{2a}}\)
  • \(\displaystyle{\beta}\) est la valeur de l'extremum, c'est-à-dire \(\displaystyle{\beta=f\left(\alpha\right)}\)

Soit f la fonction polynôme du second degré d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x^2-4x-6}\). On sait que la forme canonique de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) est du type :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=2\left( x-\alpha \right)^2+\beta}\)

Avec :

  • \(\displaystyle{\alpha = \dfrac{-b}{2a}}\)
  • \(\displaystyle{\beta=f\left(\alpha\right)}\)

Ici, on obtient :

  • \(\displaystyle{\alpha = \dfrac{4}{4}=1}\)
  • \(\displaystyle{\beta=f\left(1\right)=2\times1^2-4\times1-6=-8}\)

Ici, la forme canonique de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) est donc :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=2\left( x-1\right)^2-8}\)

Le sommet de la parabole représentative d'un trinôme du second degré est alors \(\displaystyle{S\left( \alpha;\beta \right)}\).

V

Les fonctions homographiques

Fonction homographique

Une fonction f est dite homographique si \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) peut s'écrire comme le quotient d'expressions de deux fonctions affines.

Autrement dit, si f est une fonction homographique, il existe des réels a, b, c et d, avec \(\displaystyle{c\neq0}\) et \(\displaystyle{ad-bc\neq0}\), tels que :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{ax+b}{cx+d}}\)

La fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{x-5}}\) est une fonction homographique avec \(\displaystyle{a=2}\), \(\displaystyle{b=1}\), \(\displaystyle{c=1}\) et \(\displaystyle{d=-5}\).

La fonction inverse définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}}\) est une fonction homographique avec \(\displaystyle{a=0}\), \(\displaystyle{b=1}\), \(\displaystyle{c=1}\) et \(\displaystyle{d=0}\).

Soit f une fonction homographique d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) =\dfrac{ax+b}{cx +d }}\). f est alors définie sur :

\(\displaystyle{\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{-d}{c} \right\}=\left] -\infty;\dfrac{-d}{c} \right[\cup\left] \dfrac{-d}{c};+\infty \right[}\)

La courbe représentative d'une fonction homographique est appelée une hyperbole.

VI

Les enchaînements

Enchaînement de fonctions

Décrire un enchaînement de fonctions permettant de passer de \(\displaystyle{x}\) à \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) revient à détailler l'ensemble des opérations successives à appliquer sur \(\displaystyle{x}\) pour obtenir \(\displaystyle{f\left(x\right)}\). On construit ainsi par étapes la fonction finale à partir de fonctions de référence.

La fonction \(\displaystyle{f}\), définie pour tout réel \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right) = \left(x + 1\right)^2 - 5}\), est construite par enchaînement de la fonction affine \(\displaystyle{x \longmapsto x+1}\), de la fonction carrée, et de la fonction affine \(\displaystyle{x \longmapsto x-5}\) :

\(\displaystyle{x \longmapsto x\color{Blue}{+1} \longmapsto \left(x+1\right)^{\color{Blue}{2}} \longmapsto \left(x + 1\right)^2 \color{Blue}{- 5}}\)

Chapitre 2 Les fonctions usuelles
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