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Utiliser une fonction de référence pour comparer deux nombres

Méthode 1

Avec la fonction carré

Grâce au sens de variation de la fonction carré, il est possible de comparer deux images par cette fonction lorsque les antécédents sont de même signe.

Sans effectuer de calcul, comparer \(\displaystyle{\left(-4\right)^2}\) et \(\displaystyle{\left(-2\right)^2}\).

Etape 1

Comparer les deux antécédents

On compare les deux antécédents, et on précise leur signe.

On sait que :

\(\displaystyle{-4 \lt -2\lt 0}\)

Etape 2

Enoncer le sens de variation de la fonction carré

D'après le cours, on sait que :

  • Sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; 0 \right]}\), la fonction carré est strictement décroissante
  • Sur \(\displaystyle{\left[0 ;+\infty \right[}\), la fonction carré est strictement croissante

On rappelle le sens de variation de la fonction carré sur l'intervalle désiré.

Afin de pouvoir comparer leurs images, les deux nombres doivent avoir le même signe.

Or, d'après le cours, on sait que la fonction carré est décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; 0 \right]}\).

Etape 3

Conclure sur la comparaison des deux nombres

On distingue trois cas :

  • Si a et b sont tous deux positifs, on conclut en utilisant la propriété : \(\displaystyle{a \lt b \Leftrightarrow a^2 \lt b^2}\).
  • Si a et b sont tous deux négatifs, on conclut en utilisant la propriété : \(\displaystyle{a \lt b \Leftrightarrow a^2 \gt b^2}\).
  • Si a et b sont de signes différents, on ne peut pas conclure en utilisant les variations de la fonction carré.

On en conclut que :

\(\displaystyle{\left(-4\right)^2 \gt \left(-2\right)^2}\).

Méthode 2

Avec la fonction inverse

Grâce au sens de variation de la fonction inverse, il est possible de comparer deux images par cette fonction.

Sans effectuer de calcul, comparer \(\displaystyle{\dfrac{1}{3}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{1}{7}}\).

Etape 1

Comparer les deux antécédents

On compare les deux antécédents.

On sait que :

\(\displaystyle{0\lt 3 \lt 7}\)

Etape 2

Enoncer le sens de variation de la fonction inverse

D'après le cours, on sait que la fonction inverse est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; 0 \right[}\) et sur \(\displaystyle{\left]0;+\infty \right[}\). On rappelle son sens de variation sur l'intervalle désiré.

Or, on sait que la fonction inverse est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left]0;+\infty \right[}\).

Etape 3

Conclure sur la comparaison des deux nombres

On distingue deux cas :

  • Si a et b sont tous deux strictement positifs ou tous deux strictement négatifs, on conclut en utilisant la propriété : \(\displaystyle{a \lt b \Leftrightarrow\dfrac{1}{a} \gt \dfrac{1}{b}}\).
  • Si a et b sont de signes différents, \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{1}{b}}\) sont rangés dans le même ordre que a et b. Les variations de la fonction inverse ne sont pas utiles dans ce cas.

On en conclut que :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{3}\gt \dfrac{1}{7}}\)

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