Seconde 2016-2017

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Donner les coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d'un vecteur par un réel

À partir des coordonnées de deux vecteurs, on sait déterminer les coordonnées de la somme de ces deux vecteurs ou du produit d'un vecteur par un réel.

On considère le plan muni d'un repère \(\displaystyle{\left(O;I,J\right)}\). Soient les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}}\). Calculer les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}}\).

Etape 1

Écrire les coordonnées de chaque vecteur

On écrit les coordonnées des vecteurs données dans l'énoncé.

On a \(\displaystyle{\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}}\).

Etape 2

Utiliser les règles d'addition et de multiplication par un réel

D'après le cours, on sait que :

  • La somme de deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) donne le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x+x' \cr\cr y+y' \end{pmatrix}}\).
  • Le produit d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) par un réel k donne le vecteur \(\displaystyle{k\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} kx \cr\cr ky \end{pmatrix}}\).

On cherche les coordonnées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{w}}\) tel que \(\displaystyle{\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}}\).

On énonce les formules d'addition et de multiplication par un réel. Pour plus de lisibilité, on sépare les abscisses des ordonnées :

  • \(\displaystyle{x_{\overrightarrow{w}}=2x_{\overrightarrow{u}}+x_{\overrightarrow{v}}}\)
  • \(\displaystyle{y_{\overrightarrow{w}}=2y_{\overrightarrow{u}}+y_{\overrightarrow{v}}}\)
Etape 3

Calculer et conclure

On calcule les sommes et produits nécessaires et on conclut en donnant le résultat.

On obtient :

  • \(\displaystyle{x_{\overrightarrow{w}}= 2\times 2+3 = 7}\)
  • \(\displaystyle{y_{\overrightarrow{w}} = 2\times \left(-1\right)+2 = 0}\)

On conclut que le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{w}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 0 \end{pmatrix}}\).

Chapitre 8 Les vecteurs
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