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Rechercher algébriquement le domaine de définition d'une fonction

Le domaine de définition d'une fonction f est l'ensemble des réels x tel que \(\displaystyle{f\left(x\right) }\) existe.

On considère la fonction f dont une expression est :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = 3x+1-\dfrac{5}{2-x}}\)

Déterminer le domaine de définition de f.

Etape 1

Regarder s'il y a un dénominateur ou une racine carrée

Si l'expression donnée de la fonction ne comporte ni racine carrée ni dénominateur, alors il s'agit de l'expression d'une fonction affine ou d'une fonction polynôme définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Sinon, il peut y avoir une ou plusieurs valeurs interdites.

Les seules opérations "restrictives" que l'on peut rencontrer en classe de 2nde dans les expressions des fonctions sont la racine carrée et la division.

L'expression donnée pour la fonction f comporte un dénominateur. Il peut donc y avoir une ou plusieurs valeur(s) interdite(s).

Etape 2

Identifier les éventuelles valeurs interdites

  • Si l'expression de la fonction comporte une racine carrée, cette fonction est définie lorsque l'expression dans la racine carrée est positive ou nulle.
  • Si l'expression de la fonction comporte un dénominateur, cette fonction est définie lorsque le dénominateur est non nul.

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) existe si et seulement si \(\displaystyle{2-x \neq 0}\).

On résout donc dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'équation \(\displaystyle{2-x=0}\) pour déterminer les éventuelles valeurs interdites.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{2-x=0 \Leftrightarrow x=2}\)

L'expression donnée admet donc une valeur interdite : 2.

Etape 3

Conclure

Le domaine de définition de la fonction est alors \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) privé de cette/ces valeur(s) interdite(s).

Le domaine de définition de la fonction f est \(\displaystyle{D_f = \mathbb{R}\backslash\left\{ 2 \right\}}\).

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