Seconde 2015-2016
Kartable
Seconde 2015-2016

Montrer que trois points sont alignés en utilisant une équation de droite

Une des méthodes pour montrer que trois points sont alignés consiste à démontrer qu'ils appartiennent à la même droite.

On considère un repère (O;I;J). Montrer que les points A(1;2), B(1;6) et C(2;0) sont alignés.

Etape 1

Déterminer une équation de la droite formée par les deux premiers points

On détermine d'abord une équation de la droite (AB) en utilisant les coordonnées de A et de B.

On détermine l'équation de la droite (AB). Comme xAxB, cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et admet donc une équation du type y=ax+b.

D'après le cours, le coefficient directeur vaut :

a=yByAxBxA

Soit :

a=6211=42=2

Ainsi, (AB) admet une équation de la forme y=2x+b.

Or, on sait que A appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation précédente de la droite. Ainsi :

yA=2xA+b

Donc :

2=2×1+b

2=2+b

b=4

Finalement, (AB) admet pour équation y=2x+4.

Etape 2

Vérifier que le troisième point appartient à la droite

On vérifie ensuite que le point C appartient à la droite (AB), en vérifiant que les coordonnées de C vérifient l'équation précédente de la droite (AB).

On vérifie que C(AB).

On a C(2;0). Vérifions que yC=2xC+4 :

2xC+4=2×2+4=4+4=0=yc

Donc C(AB).

Etape 3

Conclure

Si les points A, B et C appartiennent à la même droite, on peut en conclure qu'ils sont alignés.

Les points A, B et C appartiennent à la même droite ; ils sont donc alignés.

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