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Montrer que trois points sont alignés en utilisant une équation de droite

Une des méthodes pour montrer que trois points sont alignés consiste à démontrer qu'ils appartiennent à la même droite.

On considère un repère \(\displaystyle{\left( O;I;J \right)}\). Montrer que les points \(\displaystyle{A\left(1;2\right)}\), \(\displaystyle{B\left(-1 ; 6\right)}\) et \(\displaystyle{C\left(2;0\right)}\) sont alignés.

Etape 1

Déterminer une équation de la droite formée par les deux premiers points

On détermine d'abord une équation de la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) en utilisant les coordonnées de A et de B.

On détermine l'équation de la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\). Comme \(\displaystyle{x_A\neq x_B}\), cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et admet donc une équation du type \(\displaystyle{y =ax+b}\).

D'après le cours, le coefficient directeur vaut :

\(\displaystyle{a = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)

Soit :

\(\displaystyle{a = \dfrac{6-2}{-1-1}= \dfrac{4}{-2}=-2}\)

Ainsi, \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) admet une équation de la forme \(\displaystyle{y=-2x+b}\).

Or, on sait que A appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation précédente de la droite. Ainsi :

\(\displaystyle{y_A = -2x_A+b}\)

Donc :

\(\displaystyle{2= -2\times 1+b}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 2= -2+b}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow b = 4}\)

Finalement, \(\displaystyle{\left(AB\right) }\) admet pour équation \(\displaystyle{ y =-2x+4}\).

Etape 2

Vérifier que le troisième point appartient à la droite

On vérifie ensuite que le point C appartient à la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\), en vérifiant que les coordonnées de C vérifient l'équation précédente de la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\).

On vérifie que \(\displaystyle{C \in \left(AB\right)}\).

On a \(\displaystyle{C\left(2;0\right)}\). Vérifions que \(\displaystyle{y_C = -2x_C +4}\) :

\(\displaystyle{-2x_C +4=-2 \times 2+4 =-4+4 =0=y_c}\)

Donc \(\displaystyle{C \in \left(AB\right)}\).

Etape 3

Conclure

Si les points A, B et C appartiennent à la même droite, on peut en conclure qu'ils sont alignés.

Les points A, B et C appartiennent à la même droite ; ils sont donc alignés.

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