Seconde 2015-2016
Kartable
Seconde 2015-2016

Géométrie plane

I

Les symétries

A

Caractérisation d'une symétrie axiale

Caractérisation d'une symétrie axiale

Le point M′ est l'image du point M par la symétrie axiale (appelée aussi symétrie orthogonale ou réflexion) d'axe Δ si et seulement si Δ est la médiatrice de [MM].

-
B

Caractérisation d'une symétrie centrale

Caractérisation d'une symétrie centrale

Le point M′ est l'image du point M par la symétrie centrale de centre O si et seulement si O est le milieu de [MM].

-
II

Les triangles

A

Les hauteurs

Hauteur

Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.

-

Une des hauteurs peut être située "à l'extérieur" du triangle.

B

Les médianes

Médiane

Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle, et est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant des sommets respectifs.

-
C

Les médiatrices

Médiatrice

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.

Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.

-
D

Les bissectrices

Bissectrice

La bissectrice d'un angle est la demi-droite partant du sommet de l'angle qui le divise en deux angles de même mesure.

Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

-
E

Les triangles rectangles

Théorème de Pythagore

Si le triangle ABC est rectangle en A, alors :

AB2+AC2=BC2

On considère ici un triangle ABC rectangle en C.

-

Dans le triangle ABC rectangle en C :

AB2=AC2+BC2=62+82=36+64=100=102

On en déduit que :

AB=10 cm

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle ABC, l'égalité BC2=AB2+AC2 est vérifiée, alors le triangle ABC est rectangle en A et [BC] est l'hypoténuse.

-

D'une part : BC2=52=25.

D'autre part : AB2+AC2=32+42=9+16=25.

Par conséquent :

BC2=AB2+AC2

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A.

Médiane issue de l'angle droit

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors la longueur de sa médiane issue du sommet A est égale à la moitié de son hypoténuse.

-

Médiane issue de l'angle droit : réciproque

Réciproquement, si la longueur de la médiane issue du sommet A du triangle ABC est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle ABC est rectangle en A.

Cercle circonscrit

Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.

-

Cercle circonscrit : réciproque

Réciproquement, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un de ses côtés, alors le triangle est rectangle.

III

Les parallélogrammes

A

Caractérisation d'un parallélogramme

Caractérisation d'un parallélogramme

Un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) est un parallélogramme, si et seulement si :
  • Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux

ou

  • Ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur

ou

  • Deux de ses côtés sont parallèles et de même longueur

ou

  • Ses diagonales se coupent en leur milieu
B

Caractérisation d'un losange

Caractérisation d'un losange à partir d'un quadrilatère quelconque

Un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) est un losange, si et seulement si, tous ses côtés sont de même longueur.

Caractérisation d'un losange à partir d'un parallélogramme

Un parallélogramme est un losange, si et seulement si :
  • Deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur

ou

  • Ses diagonales sont perpendiculaires
C

Caractérisation d'un rectangle

Caractérisation d'un rectangle à partir d'un quadrilatère quelconque

Un quadrilatère est un rectangle, si et seulement si, il possède trois angles droits.

Caractérisation d'un rectangle d'un parallélogramme

Un parallélogramme est un rectangle, si et seulement si :
  • Un de ses angles est droit

ou

  • Ses diagonales sont de même longueur
D

Caractérisation d'un carré

Caractérisation d'un carré

Si un quadrilatère est à la fois losange et rectangle alors ce quadrilatère est un carré.

IV

Les aires des figures de référence

A

Le triangle

Aire d'un triangle

L'aire A d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une hauteur par la longueur du côté correspondant :

A=b×h2

-
-

L'aire du triangle ci-dessus est égale à :

A=4×62=12 cm2.

  • Un triangle possédant trois hauteurs, il existe trois calculs possibles de son aire.
  • Une hauteur peut se situer à l'extérieur du triangle.
B

Parallélogramme, losange, rectangle, carré

Aire d'un parallélogramme

L'aire A d'un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur :

A=B×h

-
-

L'aire A du parallélogramme ci-dessus est égale à :

A=9×6=54 cm2

Les losanges, rectangles et carrés sont des parallélogrammes.

C

Le disque

Aire d'un disque

L'aire A d'un disque de rayon R est égale à :

A=πR2

-
-

L'aire du disque ci-dessous est égale à :

A=π×32=9π cm2

D

Le trapèze

Aire d'un trapèze

L'aire A d'un trapèze est égale à la moitié du produit de la hauteur par la somme des bases :

A=h(b+B)2

-
-

L'aire A du trapèze ci-dessous est égale à :

A=2,5×(11+5)2=2,5×162=20 cm2

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