Seconde 2015-2016
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Seconde 2015-2016

Tracer les droites remarquables d'un triangle

Méthode 1

Tracer les hauteurs

Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

On considère le triangle ABC suivant :

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Tracer les hauteurs de ce triangle.

Etape 1

Relier un sommet perpendiculairement au côté opposé

On trace une droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Il s'agit de la première hauteur.

On trace la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (BC).

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Etape 2

Tracer les deux autres hauteurs

On procède de la même manière pour les deux autres hauteurs.

Les trois hauteurs se coupent en un même point : l'orthocentre. On dit qu'elles sont concourantes.

On trace la droite passant par B et perpendiculaire à la droite (AC) ainsi que la droite passant par C et perpendiculaire à la droite (AB). On obtient alors le tracé des trois hauteurs.

-
Méthode 2

Tracer les médianes

Dans un triangle, une médiane est une droite issue d'un sommet et passant par le milieu du côté opposé.

On considère le triangle ABC suivant :

-

Tracer les médianes de ce triangle.

Etape 1

Relier un sommet au milieu du côté opposé

On trace la droite reliant un premier sommet du triangle au milieu du côté opposé. On obtient la première médiane.

On trace la droite reliant le sommet A au milieu du côté opposé.

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Etape 2

Tracer les deux autres médianes

On procède de la même manière pour les deux autres médianes.

Les trois médianes se coupent en un même point : le centre de gravité. Comme les trois hauteurs, les trois médianes d'un triangle sont concourantes.

On trace la droite passant par B et par le milieu de [AC] ainsi que la droite passant par C et par le milieu du segment [AB]. On obtient les trois médianes.

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Méthode 3

Tracer les médiatrices

La médiatrice d'un segment est la droite passant perpendiculairement par le milieu de celui-ci. Les médiatrices d'un triangle sont les médiatrices des côtés du triangle.

On considère le triangle ABC suivant :

-

Tracer les médiatrices de ce triangle.

Etape 1

Tracer la droite passant perpendiculairement par le milieu d'un côté

On trace la droite passant perpendiculairement et par le milieu d'un premier côté. On obtient la première médiatrice.

On trace la droite passant perpendiculairement par le milieu de [BC], c'est-à-dire la médiatrice de [BC].

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Etape 2

Tracer les deux autres médiatrices

On procède de la même manière pour les deux autres médiatrices.

Les trois médiatrices se coupent en un même point : le centre du cercle circonscrit au triangle. Elles sont donc également concourantes. Si on nomme I le centre du cercle circonscrit, on a : IA=IB=IC.

On trace la droite passant perpendiculairement par le milieu de [AC] ainsi que la droite passant perpendiculairement par le milieu du segment [AB]. On obtient les trois médiatrices.

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Méthode 4

Tracer les bissectrices

Une bissectrice est une droite séparant un angle en deux angles de même mesure.

On considère le triangle ABC suivant :

-

Déterminer les bissectrices de ce triangle.

Etape 1

Mesurer l'un des angles

On mesure l'un des angles du triangle.

À l'aide d'un rapporteur, on mesure l'angle BACˆ.

On trouve :

BACˆ=80°

Etape 2

Tracer la droite partageant cet angle en deux

On trace la droite partageant cet angle en deux angles de même mesure. On obtient la première bissectrice.

À l'aide d'un rapporteur et d'une règle, on trace la droite partageant l'angle BACˆ en deux angles de même mesure.

-
Etape 3

Tracer les autres bissectrices

On procède de la même manière pour les deux autres bissectrices.

Pour un tracé plus précis des bissectrices, on peut également utiliser un compas.

Les trois bissectrices se coupent en un même point : le centre du cercle inscrit au triangle. Les trois bissectrices sont donc concourantes.

On trace la droite séparant l'angle ACBˆ en deux angles égaux ainsi que la droite séparant l'angle ABCˆ en deux angles égaux.

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