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Montrer que deux réels ont la même image sur le cercle

Une infinité de réels peuvent avoir la même image sur le cercle trigonométrique, s'ils sont égaux à \(\displaystyle{2k\pi}\) près (\(\displaystyle{k\in \mathbb{Z}}\)).

Montrer que \(\displaystyle{\dfrac{2\pi}{5}}\) et \(\displaystyle{-\dfrac{128\pi}{5}}\) ont la même image sur le cercle trigonométrique .

Etape 1

Réciter le cours

Deux réels \(\displaystyle{x_1}\) et \(\displaystyle{x_2}\) ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de \(\displaystyle{2\pi}\).

Les deux réels \(\displaystyle{\dfrac{2\pi}{5}}\) et \(\displaystyle{-\dfrac{128\pi}{5}}\) ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement si leur différence est un multiple de \(\displaystyle{2\pi}\).

Etape 2

Calculer la différence entre les deux mesures

On calcule \(\displaystyle{x_2-x_1}\).

On calcule la différence entre les deux angles :

\(\displaystyle{\dfrac{2\pi}{5} -\left(-\dfrac{128\pi}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{5} +\dfrac{128\pi}{5} =\dfrac{130\pi}{5} = 26 \pi}\)

Etape 3

Conclure

On conclut :

  • Si \(\displaystyle{x_2-x_1=2k\pi}\), avec \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\), alors les deux réels \(\displaystyle{x_1}\) et \(\displaystyle{x_2}\) ont la même image sur le cercle trigonométrique.
  • Si \(\displaystyle{x_2-x_1\neq2k\pi}\), avec \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\), alors les deux réels \(\displaystyle{x_1}\) et \(\displaystyle{x_2}\) n'ont pas la même image sur le cercle trigonométrique.

Or :

\(\displaystyle{26 \pi = 13 \times 2 \pi}\)

Les réels \(\displaystyle{\dfrac{2\pi}{5}}\) et \(\displaystyle{-\dfrac{128\pi}{5}}\) ont donc la même image sur le cercle trigonométrique.

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