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Calculer la moyenne d'une série statistique

Méthode 1

Dans une série statistique discrète

À partir des effectifs ou des fréquences, on peut déterminer la moyenne \(\displaystyle{\overline {x}}\) d'une série statistique discrète.

On donne les différentes notes obtenues par les 24 élèves d'une classe lors d'un contrôle.

\(\displaystyle{5-12-11-10-6-17-11-12-10-13-9-11-12-8-7-10-11-10-12-11-9-10-8-11}\)

Déterminer la moyenne de cette série.

Etape 1

Construire le tableau statistique

On ordonne la série statistique dans un tableau en classant les valeurs par ordre croissant pour plus de lisibilité et on note les effectifs dans une deuxième ligne.

On classe la série en valeurs croissantes et on note les effectifs dans un tableau :

\(\displaystyle{x_i}\) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17
\(\displaystyle{n_i}\) 1 1 1 2 2 5 6 4 1 1
Etape 2

Énoncer la formule

En fonction des données de l'énoncé ou des questions précédentes, on peut utiliser deux formules pour le calcul de la moyenne \(\displaystyle{\overline{x}}\) :

  • \(\displaystyle{\overline{x} =\dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{p} n_ix_i}\) où les \(\displaystyle{n_i}\) représentent les effectifs des valeurs \(\displaystyle{x_i}\) et où N représente l'effectif total.
  • \(\displaystyle{\overline{x} = \sum_{i=1}^{p} f_ix_i}\) où les \(\displaystyle{f_i}\) représentent les fréquences des valeurs \(\displaystyle{x_i}\).

Le tableau statistique nous donne les effectifs, on utilise donc la formule suivante :

\(\displaystyle{\overline{x} =\dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{p} n_ix_i}\)

Etape 3

Appliquer la formule

On applique la formule choisie et on en déduit la valeur de la moyenne.

On calcule :

\(\displaystyle{\overline{x} =\dfrac{1}{24} \left(5\times 1 +6\times 1 + 7 \times 1+8 \times 2 +9 \times 2 +10 \times 5 + 11 \times 6 + 12 \times 4 + 13 \times 1 + 17\times 1\right)}\)

\(\displaystyle{\overline{x} =\dfrac{1}{24} \times 246}\)

Donc :

\(\displaystyle{\overline{x} =10,25}\)

On conclut que la moyenne de la classe à ce contrôle est de 10,25.

Méthode 2

Dans une série statistique continue

Afin de déterminer la moyenne \(\displaystyle{\overline {x}}\) d'une série statistique par classes, on détermine au préalable le centre de chaque classe puis on applique une des deux formules donnant la moyenne dans le cas des séries statistiques discrètes, en remplaçant chaque classe par son centre.

Soit le tableau statistique suivant récapitulant le temps d'attente aux caisses d'un supermarché :

Temps d'attente (min) \(\displaystyle{\left[ 0;4 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 4;8 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 8;12 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 12;16 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 16;20 \right[}\)
Fréquence 0,11 0,26 0,43 0,12 0,08

Calculer le temps d'attente moyen.

Etape 1

Calculer le centre de chaque classe

On commence par déterminer le centre de chaque classe.

Le centre d'une classe \(\displaystyle{\left[ a;b\right[}\) est \(\displaystyle{x_i = \dfrac{a+b}{2}}\).

On détermine le centre de chaque classe :

  • Le centre de la classe \(\displaystyle{\left[ 0;4 \right[}\) est : \(\displaystyle{x_1 = \dfrac{0+4}{2} = 2}\)
  • Le centre de la classe \(\displaystyle{\left[ 4;8 \right[}\) est : \(\displaystyle{x_2 = \dfrac{4+8}{2} = 6}\)
  • Le centre de la classe \(\displaystyle{\left[ 8;12\right[}\) est : \(\displaystyle{x_3 = \dfrac{8+12}{2} = 10}\)

  • Le centre de la classe \(\displaystyle{\left[ 12;16 \right[}\) est : \(\displaystyle{x_4 = \dfrac{12+16}{2} = 14}\)
  • Le centre de la classe \(\displaystyle{\left[ 16;20 \right[}\) est : \(\displaystyle{x_5=\dfrac{16+20}{2} = 18}\)
Etape 2

Dresser le tableau statistique complété

Si cela n'a pas été donné dans l'énoncé, on dresse le tableau statistique avec

  • Sur la deuxième ligne les centres de classe
  • Sur la troisième ligne les effectifs ou les fréquences

On complète le tableau statistique de l'énoncé :

Temps d'attente (min) \(\displaystyle{\left[ 0;4 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 4;8 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 8;12 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 12;16 \right[}\) \(\displaystyle{\left[ 16;20 \right[}\)
Centre de la classe 2 6 10 14 18
Fréquence 0,11 0,26 0,43 0,12

0,08

Etape 3

Énoncer la formule

En fonction des données de l'énoncé ou des questions précédentes, on peut utiliser deux formules pour le calcul de la moyenne \(\displaystyle{\overline{x}}\) :

  • \(\displaystyle{\overline{x} =\dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{p} n_ix_i}\) où les \(\displaystyle{n_i}\) représentent les effectifs de chaque classe, \(\displaystyle{x_i}\) les centres des classes et où N représente l'effectif total.
  • \(\displaystyle{\overline{x} = \sum_{i=1}^{p} f_ix_i}\) où les \(\displaystyle{f_i}\) représentent les fréquences de chaque classe, et \(\displaystyle{x_i}\) les centres des classes.

Remplacer chaque classe par son centre revient à faire l'hypothèse que les valeurs réelles sont régulièrement réparties dans chaque classe. Le calcul effectué dans le cas de statistiques continues n'est qu'un calcul approché, car on ne sait pas si l'hypothèse précédente est vérifiée.

Le tableau statistique nous donne les fréquences, on choisit donc la formule :

\(\displaystyle{\overline{x} = \sum_{i=1}^{p} f_ix_i}\)

Etape 4

Appliquer la formule

On applique la formule choisie et on en déduit la valeur de la moyenne.

On calcule :

\(\displaystyle{\overline{x} \approx 2\times 0,11 + 6 \times 0,26 + 10 \times 0,43 + 14 \times 0,12 + 18 \times 0,08}\)

Donc :

\(\displaystyle{\overline{x} \approx 9,2}\)

On conclut que le temps d'attente moyen à la caisse de ce supermarché est d'environ 9,2 minutes, soit 9 minutes et 12 secondes.

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