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Construire un point à l'aide d'égalités vectorielles

Il est possible de construire un point M vérifiant une égalité vectorielle faisant intervenir d'autres points connus.

Soit le repère \(\displaystyle{\left(O;I,J\right)}\). On donne \(\displaystyle{A\left(2;-1\right)}\), \(\displaystyle{B\left(3;5\right)}\) et \(\displaystyle{C\left(-1; 1\right)}\).

Placer le point D tel que \(\displaystyle{\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} =\overrightarrow{BC}}\).

Etape 1

Ecrire l'égalité demandée

On écrit l'égalité donnée dans l'énoncé.

On a :

\(\displaystyle{\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BC}}\)

Etape 2

Transformer l'égalité pour isoler le point

On transforme l'égalité pour isoler le point recherché.

Si on cherche à construire le point M et que l'on connaît les points A, B et C, on doit obtenir une égalité du type \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}}\), avec \(\displaystyle{a \in \mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{b\in \mathbb{R}}\).

Il est souvent nécessaire d'utiliser la relation de Chasles à cette étape.

On cherche à isoler le point D dans l'égalité précédente. D'après la relation de Chasles, on a :

\(\displaystyle{\overrightarrow{DB} =\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} }\)

Ainsi :

\(\displaystyle{\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{BC}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow2\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\overrightarrow{AD} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}}\)

Etape 3

Tracer un représentant du vecteur du membre de droite

Si on a une égalité du type \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}}\), on trace un représentant du vecteur \(\displaystyle{a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}}\).

On trace un représentant du vecteur \(\displaystyle{-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}}\).

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Etape 4

Placer le point connu

Si on a une égalité du type \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+ b\overrightarrow{AC}}\), on place le point A.

Le point A est déjà placé.

Etape 5

Tracer un autre représentant du vecteur et en déduire la place du point cherché

On trace un autre représentant du vecteur \(\displaystyle{a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{BC}}\) en partant du point A.

On place finalement le point M à l'extrémité de ce représentant.

On trace un autre représentant du \(\displaystyle{-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}}\) en partant du point A. On place le point D à l'extrémité de ce représentant.

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