Seconde 2015-2016
Kartable
Seconde 2015-2016

Construire un point à l'aide d'égalités vectorielles

Il est possible de construire un point M vérifiant une égalité vectorielle faisant intervenir d'autres points connus.

Soit le repère (O;I,J). On donne A(2;1), B(3;5) et C(1;1).

Placer le point D tel que DA+DB=BC.

Etape 1

Ecrire l'égalité demandée

On écrit l'égalité donnée dans l'énoncé.

On a :

DA+DB=BC

Etape 2

Transformer l'égalité pour isoler le point

On transforme l'égalité pour isoler le point recherché.

Si on cherche à construire le point M et que l'on connaît les points A, B et C, on doit obtenir une égalité du type AM=aAB+bAC, avec a et b.

Il est souvent nécessaire d'utiliser la relation de Chasles à cette étape.

On cherche à isoler le point D dans l'égalité précédente. D'après la relation de Chasles, on a :

DB=DA+AB

Ainsi :

DA+DB=BC

DA+DA+AB=BC

2DA=BCAB

AD=12BC+12AB

Etape 3

Tracer un représentant du vecteur du membre de droite

Si on a une égalité du type AM=aAB+bAC, on trace un représentant du vecteur aAB+bAC.

On trace un représentant du vecteur 12BC+12AB.

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Etape 4

Placer le point connu

Si on a une égalité du type AM=aAB+bAC, on place le point A.

Le point A est déjà placé.

Etape 5

Tracer un autre représentant du vecteur et en déduire la place du point cherché

On trace un autre représentant du vecteur aAB+bBC en partant du point A.

On place finalement le point M à l'extrémité de ce représentant.

On trace un autre représentant du 12BC+12AB en partant du point A. On place le point D à l'extrémité de ce représentant.

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