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La gravitation universelle

La gravitation est l'interaction qui régit l'attraction mutuelle des corps sous l'effet de leur masse. C'est Newton qui, en 1687, énonça l'expression de la force d'attraction gravitationnelle s'exerçant entre deux corps. Cette même expression permet de calculer le poids d'un corps et d'expliquer pourquoi celui-ci varie selon l'astre considéré. Le mouvement des satellites (naturels ou artificiels) est dû à l'attraction gravitationnelle, mais aussi à leur vitesse.

I

La loi d'interaction gravitationnelle

A

L'énoncé

Deux corps possédant chacun une masse sont soumis à l'interaction gravitationnelle : ils exercent l'un sur l'autre des forces attractives dites forces d'attraction gravitationnelle (ils s'attirent).

Loi de gravitation universelle (énoncée par Newton en 1687)

Deux corps A et B de masse mA et mB éloignés par une distance dAB exercent l'un sur l'autre des forces attractives dites forces d'attraction gravitationnelle (ils s'attirent mutuellement).

Ces forces d'attraction gravitationnelle exercées par chacun des deux corps sur l'autre ont la même valeur, celle-ci est proportionnelle au produit des deux masses et inversement proportionnelle au carré de la distance.

Le Soleil attire la Terre et réciproquement la Terre attire le Soleil avec une force de même valeur.

Valeur de la force gravitationnelle

\(\displaystyle{F = G\times \dfrac{m_{A}\times m_{B}}{\left(d_{AB}\right)²} }\)

avec :

  • F : valeur de la force gravitationnelle, en Newton (N).
  • mA et mB : masse des corps A et B, en kilogrammes (kg).
  • dAB : distance entre les centres des corps A et B, en mètres (m).
  • G : constante de gravitation universelle, \(\displaystyle{G = 6,67\times10^{-11}}\) N.m2.kg-2

Valeur de la force d'interaction gravitationnelle entre le Soleil et la Terre :

Données :

  • Masse du Soleil : \(\displaystyle{m_{S} = 1,989\times10^{30}}\) kg.
  • Masse de la Terre : \(\displaystyle{m_{T} = 5,98\times10^{24}}\) kg.
  • Distance entre les centres du Soleil et de la Terre : \(\displaystyle{d_{ST} = 1,49\times10^{8}}\) km.

\(\displaystyle{F = G\times \dfrac{m_{A}\times m_{B}}{\left(d_{AB}\right)²} = 6,67\times10^{-11} \times \dfrac{1,989\times10^{30}\times5,98\times10^{24} }{\left(1,49\times10^{8}\times10^{3}\right)²} }\)

\(\displaystyle{F = 3,57\times10^{22}}\) N

B

La représentation de la force d'attraction gravitationnelle

La force d'attraction gravitationnelle exercée par le corps A sur le corps B et celle exercée par le corps B sur le corps A sont représentées respectivement par les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{F_{A / B}}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{F_{B / A}}}\). Les caractéristiques de ces vecteurs sont les suivantes :

  • Point d'application : le centre du corps attiré
  • Direction : la direction de la droite passant par les centres des deux corps
  • Sens : du corps attiré vers le corps qui attire
  • Intensité : FA / B ou FB / A
-

Pour tracer ces vecteurs, il est nécessaire de définir une échelle qui fait correspondre une longueur (généralement en centimètres (cm)) à une valeur en Newton (N).

Les forces d'attraction gravitationnelle entre le Soleil et la Terre ont pour valeur : \(\displaystyle{F_{Soleil / Terre} = F_{Terre / Soleil} = 3,57\times10^{22}}\) N

Si l'échelle est \(\displaystyle{2,0 cm \Leftrightarrow 3,57\times10^{22}}\) N, les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{F}}_{Soleil / Terre}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{F}}_{Terre/ Soleil}\) mesureront 2,0 cm.

II

Le poids d'un corps sur Terre

A

L'origine du poids d'un corps sur Terre

À la surface de la Terre, un objet est soumis à la pesanteur, c'est l'action par laquelle tout objet à proximité de la Terre est attiré vers elle.

-

Nous admettrons que le poids d'un objet sur Terre s'identifie à la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur cet objet.

Or, la valeur de cette force d'attraction gravitationnelle entre la Terre, de masse mT, et un corps de masse m situé à la surface, soit à une distance RT de son centre, est :

\(\displaystyle{F = G \times \dfrac{m_{T} \times m }{ R_{T}²}}\)

Cette valeur dépend de la masse m du corps, les autres grandeurs étant des constantes que l'on regroupe dans une grandeur qu'on appelle l'intensité de la pesanteur terrestre :

Intensité de pesanteur terrestre

\(\displaystyle{g_{T} = G \times \dfrac{m_{T}}{ R_{T}²}}\)

Avec :

  • Constante de gravitation universelle : \(\displaystyle{G = 6,67\times10^{-11}}\) N.m2.kg-2.
  • Masse de la Terre : \(\displaystyle{m_{T} = 5,98\times10^{24}}\) kg.
  • Rayon moyen de la Terre : \(\displaystyle{R_{T} = 6 378}\) km.

L'intensité de pesanteur sur Terre est :

\(\displaystyle{g_{T} = G \times \dfrac{m_{T}}{ R_{T}²} = 6,67\times10^{-11} \times \dfrac{5,98\times10^{24}}{\left(6\ 378\times10^{3}\right)²} = 9,81}\) N.kg−1

Le poids d'un corps s'écrit alors :

Poids d'un corps sur Terre

\(\displaystyle{P_{T} = m \times g_{T}}\)

gT est l'intensité de la pesanteur terrestre.

Le poids (sur Terre) d'une personne de 55 kg est :

\(\displaystyle{P_{T} = m \times g_{T} = 55 \times 9,81 = 5,4\times 10^{2}}\) N

Dans la vie de tous les jours, on emploie de manière incorrecte le verbe "peser" en donnant la valeur de la masse.

Il est incorrect de dire : "Cette personne pèse 55 kg". Il faudrait dire : "La masse de cette personne est de 55 kg." (et elle pèse environ 540 N).

On arrondit souvent la valeur de l'intensité de pesanteur terrestre : \(\displaystyle{g_{T} = 10 }\) N.kg−1.

Le poids d'un corps est représenté par un vecteur vertical, orienté vers le bas et ayant pour origine le centre de gravité du corps.

-
B

Les variations du poids d'un corps sur Terre

La valeur précédente de l'intensité de pesanteur terrestre gT est en fait une valeur moyenne, car la Terre n'est pas une sphère parfaite, elle est légèrement aplatie aux pôles.

Le rayon de la Terre RT n'est donc pas constant, gT dépend donc de la latitude.

Au niveau de l'équateur : RTE = 6386 km ce qui donne gTE = 9,78 N.kg−1.

Au niveau des pôles : RTP = 6369 km ce qui donne gTP = 9,83 N.kg−1.

De même, l'intensité de pesanteur dépend aussi de l'altitude : elle diminue lorsque l'altitude augmente.

Au sommet de l'Everest (altitude : 8846 m) : gT Ev = 9,78 N.kg−1.

III

Applications à l'Univers

A

Le poids d'un corps sur un autre astre

La masse d'un corps est une grandeur invariante, elle ne dépend donc pas du lieu ni du corps céleste sur lequel il est.

Par contre, l'intensité de la pesanteur variant avec la masse et le rayon du corps attracteur, le poids d'un corps n'est donc pas constant et dépend de l'astre qui l'attire.

Intensité de pesanteur sur un astre A

\(\displaystyle{g_{A} = G \times \dfrac{m_{A}}{ R_{A}²}}\)

Pour la Lune :

  • Masse de la Lune : \(\displaystyle{m_{L} = 7,34\times10^{22}}\) kg.
  • Rayon moyen de la Lune : \(\displaystyle{R_{L} = 1 740}\) km.

L'intensité de pesanteur sur la Lune est donc :

\(\displaystyle{g_{L} = G \times \dfrac{m_{L}}{ R_{L}²} = 6,67\times10^{-11} \times \dfrac{7,34\times10^{22}}{\left(1\ 740\times10^{3}\right)²} = 1,62}\) N.kg−1

Poids d'un corps sur un astre A

\(\displaystyle{P_{A} = m \times g_{A}}\)

gA est l'intensité de la pesanteur de l'astre A.

Le poids sur la Lune d'une personne de 55 kg est :

\(\displaystyle{P_{A} = m \times g_{A} = 55 \times 1,62 = 8,91\times 10^{1}}\) N

Soit un poids environ 6 fois plus faible que sur Terre, ce qui explique les mouvements "aériens" des astronautes sur le sol lunaire.

B

Le mouvement des corps au voisinage de la Terre

1

Le mouvement de la Lune autour de la Terre

Bien qu'étant attirée par la Terre sous l'effet de l'interaction gravitationnelle, la Lune est en mouvement circulaire et uniforme dans le référentiel géocentrique, car elle possède la vitesse nécessaire (environ 1 km.s−1) pour tourner autour de la Terre sans jamais tomber dessus.

-

Le mouvement des corps autour d'un astre (celui des planètes autour du Soleil, des satellites autour d'une planète, etc.) s'explique de la même façon.

2

La satellisation

Lorsqu'on lance un objet d'un point proche de la Terre avec une vitesse de direction parallèle à la surface terrestre, son mouvement dépend de la valeur de sa vitesse initiale :

  • Si la vitesse initiale est nulle, l'objet chute verticalement sur Terre. (1)
  • Si la vitesse initiale est trop faible, l'objet chute sur Terre selon une trajectoire parabolique. (2)
  • Si l'objet est lancé avec une vitesse initiale suffisante, appelée vitesse de satellisation, il se met en orbite autour de la Terre. La valeur de la vitesse de satellisation dépend de l'altitude du point d'injection de l'objet. (3)
  • Si la vitesse initiale est supérieure à la vitesse de libération, l'objet s'échappe de l'attraction terrestre. (4)
-

Pour une altitude au point d'injection de 200 km, la vitesse de satellisation circulaire est de 7,78 km.s−1 et celle de libération est de 11,0 km.s−1. Ces vitesses diminuent avec l'altitude au point d'injection.

Si la vitesse initiale du satellite est comprise entre celle de satellisation et celle de libération, sa trajectoire sera une ellipse dont la Terre occupera l'un des foyers.

-
3

La chute libre

Au voisinage de la Terre, un projectile est soumis à son poids et à la force de frottement exercée par l'air. Dans certaines conditions, ces frottements peuvent être nuls ou négligeables.

Chute libre

La chute libre est le mouvement d'un corps soumis à une seule force : son poids.

Dans certaines situations, avant d'ouvrir leur parachute, les parachutistes sont en chute libre.

L'application du principe de l'inertie permet de conclure que le mouvement du projectile en chute libre dans les référentiels terrestre ou géostationnaire ne peut pas être rectiligne et uniforme puisqu'il n'est soumis qu'à une seule force, son poids. Si la vitesse initiale du corps en chute libre n'est pas de direction verticale, la trajectoire du corps est parabolique. Sa forme dépend alors de la valeur de la vitesse initiale et de l'angle que celle-ci fait avec l'horizontale.

-
Influence de l'angle de lancer sur le mouvement d'un projectile
-
Influence de la vitesse initiale d'un projectile sur son mouvement

Le mouvement d'un corps en chute libre est indépendant de sa masse.

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