Sixième 2016-2017
Kartable
Sixième 2016-2017

Géométrie dans l'espace

I

Vocabulaire, notations, codage

Solide

Un solide est un objet en trois dimensions.

Le cube, le pavé ou encore le cylindre sont des solides.

Faces, arêtes et sommets d'un solide

  • Lorsque le solide est constitué uniquement de polygones "pleins", on appelle ceux-ci les faces du solide et un tel solide est appelé un polyèdre.
  • Les côtés des polygones sont appelés les arêtes du solide.
  • Les sommets des polygones sont appelés les sommets du solide.

Le nom d'un polyèdre est donné par la liste de ses sommets sans espaces ni symboles particuliers.

-

Dans le polyèdre ABCDE, on distingue entre autres la face ACD et les arêtes [AC] et [AD].

II

Les solides usuels

A

Les cubes et les pavés droits

Cube

Un cube est un polyèdre possédant 6 faces qui sont des carrés.

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Un cube possède 8 sommets, 6 faces et 12 arêtes.

Parrallélépipède rectangle

Un parallélépipède rectangle (appelé aussi pavé droit) est un polyèdre possédant 6 faces, qui sont toutes des rectangles.

Une boîte d'allumettes est un exemple de parallélépipède rectangle.

  • Les faces opposées d'un pavé droit sont parallèles.
  • Les faces d'un pavé droit qui ne sont pas opposées sont perpendiculaires.
  • Deux arêtes parallèles ont la même longueur.
  • Deux arêtes partant d'un même sommet sont perpendiculaires.

Le cube est un parallélépipède rectangle. Il possède par conséquent les mêmes propriétés.

B

Les prismes droits

Prisme droit

Un prisme droit est un solide ayant deux faces polygonales quelconques identiques et parallèles (appelées "bases" du prisme droit), les autres faces (appelées "faces latérales") étant des rectangles.

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Dans un prisme droit, les faces latérales sont perpendiculaires aux bases.

Un pavé droit est un prisme droit particulier : ses bases sont rectangulaires.

Hauteur d'un prisme droit

La hauteur d'un prisme droit est la distance entre les deux bases.

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Dans le prisme droit ci-dessus, la hauteur est de 5 cm.

C

Les pyramides régulières

Pyramide

Une pyramide est un solide formé d'une base polygonale et de faces latérales triangulaires partageant un sommet commun, qui est le sommet de la pyramide.

Pyramide régulière

On dit qu'une pyramide est régulière lorsque la base est un polygone ayant tous ses côtés de même longueur et lorsque les faces latérales sont toutes superposables.

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Hauteur d'une pyramide

La hauteur d'une pyramide est le segment perpendiculaire à la base issu du sommet.

-

On appelle également hauteur la longueur de ce segment.

Lorsque la pyramide est régulière, le pied de la hauteur est le centre de la base.

D

Les cylindres

Cylindre de révolution

Un cylindre de révolution est un solide formé de deux disques parallèles superposables qui sont ses bases, et d'une surface latérale correspondant à un rectangle enroulé le long des bases.

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Hauteur et rayon d'un cylindre

  • La hauteur d'un cylindre est la distance entre les deux bases.
  • Le rayon d'un cylindre est le rayon de ses bases.
-
E

Les cônes

Cône de révolution

Un cône de révolution est un solide délimité par un disque (appelé base du cône) et une surface latérale qui représente un secteur angulaire.

-

Rayon et hauteur d'un cône de révolution

  • Le rayon d'un cône de révolution est le rayon de sa base.
  • La hauteur d'un cône de révolution est le segment perpendiculaire à la base issu du sommet.
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On appelle également hauteur la longueur de ce segment.

Pour former un cône de révolution, on fait tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit. Ce côté est appelé axe de révolution et correspond à la hauteur du cône. L'hypoténuse du triangle rectangle est appelée génératrice.

F

Les boules

Sphère

La sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance R du point O.

Boule

La boule de centre O et de rayon R est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance inférieure ou égale à R du point O.

Rayon d'une sphère

On appelle rayon d'une sphère (ou d'une boule) tout segment joignant le centre O à un point de la sphère. On parle également de rayon pour la longueur de ses segments.

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Les sphères et les boules ne possèdent pas de patron.

III

Représentations

Lorsque l'on représente un solide en perspective cavalière :

  • Les droites parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
  • Les arêtes visibles en réalité sont tracées en continu.
  • Les arêtes cachées en réalité sont tracées en pointillés.
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Patron d'un parallélépipède rectangle

Un patron d'un parallélépipède rectangle est une représentation à plat, qu'on obtient en le dépliant suivant ses faces. Il est toujours formé de trois rectangles qui apparaissent deux fois chacun, c'est-à-dire de six rectangles.

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Il existe plusieurs patrons différents d'un même parallélépipède rectangle.
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Patron d'un prisme droit

Un patron d'un prisme droit est une représentation à plat, qu'on obtient en le dépliant suivant ses faces. Il est toujours formé de rectangles correspondant à ses faces latérales, ainsi que des deux polygones correspondant à ses bases.

-

Il existe plusieurs patrons différents d'un même prisme droit.

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Patron d'une pyramide

Un patron d'une pyramide est une représentation à plat, qu'on obtient en la dépliant suivant ses faces. Il est toujours formé de triangles correspondant à ses faces latérales, ainsi que d'un polygone correspondant à sa base.

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Il existe plusieurs patrons différents d'une même pyramide, suivant l'emplacement des faces latérales.

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