Sixième 2016-2017
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Sixième 2016-2017

La symétrie axiale

I

Généralités

A

Symétrique d'une figure

Symétrie axiale

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles sont superposables par pliage le long de cette droite. On parle alors de symétrie axiale (ou orthogonale), d'axe (d) et la droite (d) est appelée axe de symétrie.

Ces deux figures sont symétriques par rapport à la droite (d) .

-
B

Les propriétés de la symétrie axiale

Deux figures symétriques ont la même forme et les mêmes dimensions. Elles ont donc le même périmètre et la même aire (pour les surfaces).

En particulier, dans le cadre d'une symétrie axiale :

  • Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.
  • Le symétrique d'une demi-droite est une demi-droite.
  • Le symétrique d'une droite est une droite.
  • Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure.
  • Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon.
  • Les symétriques de trois points alignés sont trois points alignés.

On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement.

Pour construire le symétrique d'une figure, on construit le symétrique de chacun des points qui la définissent et on reproduit la forme.
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II

Les axes de symétrie d'une figure

A

Cas général

Axe de symétrie

La droite (d) est un axe de symétrie d'une figure si les deux parties de cette figure se superposent par pliage le long de la droite.

La droite (d) est un axe de symétrie de la figure.

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Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie ou au contraire aucun.

La figure 1, qui est un carré, possède 4 axes de symétrie. La figure 2, quelconque, n'en a pas.

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Les axes de symétrie des figures usuelles sont les suivants :

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B

La médiatrice d'un segment

Médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

La droite (d) est la médiatrice du segment [AB].

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La médiatrice d'un segment est l'axe de symétrie de ce segment. Si (d) est la médiatrice du segment [AB], on dit que le point B est le symétrique du point A par rapport à (d) (et inversement).

Le point B est le symétrique de A par rapport à la droite (d).

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Inversement, le symétrique du point A par rapport à une droite (d) est le point B tel que (d) soit la médiatrice du segment [AB]. Si le point A est sur la droite (d), son symétrique est lui-même : le point A est alors dit invariant.

Si un point est sur la médiatrice d'un segment, il est à égale distance des extrémités de ce segment.

Le point C appartient à la médiatrice (d) du segment [AB]. Donc CA=CB.

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Inversement, si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, il appartient à la médiatrice de ce segment.

On remarque que CA=CB. Le point C appartient donc à la médiatrice du segment [AB].

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C

Les cerfs-volants

Cerf-volant

Un cerf-volant est un quadrilatère dont une diagonale est un axe de symétrie.

Le quadrilatère ABCD est un cerf-volant, car sa diagonale [AC] est un axe de symétrie.

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Dans un cerf-volant ABCD d'axe de symétrie (AC) :

  • AD=AB
  • BC=CD
  • ABCˆ=ADCˆ
  • (AC)(BD)
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