Sixième 2015-2016
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Sixième 2015-2016

Calcul mental et ordre de grandeur

I

Astuces de calcul mental pour les multiplications et les divisions

A

Multiplier et diviser par 10, 100, 1000

  • Pour multiplier un nombre décimal par 10, on déplace la virgule de 1 rang vers la droite.
  • Pour multiplier un nombre décimal par 100, on déplace la virgule de 2 rangs vers la droite.
  • Pour multiplier un nombre décimal par 1000, on déplace la virgule de 3 rangs vers la droite.

Si on ne peut plus déplacer la virgule, on ajoute autant de 0 que de déplacements restant à effectuer. Il n'y a alors plus de partie décimale et donc de virgule.

On veut calculer 129,56×1 000.
On doit donc déplacer la virgule de trois rangs vers la droite, mais la partie décimale n'est formée que de deux chiffres. On ajoute donc un 0 à la fin et on retire la virgule :
129,56×1 000=129 560

  • Pour diviser un nombre décimal par 10, on déplace la virgule de 1 rang vers la gauche.
  • Pour diviser un nombre décimal par 100, on déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche.
  • Pour diviser un nombre décimal par 1000, on déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche.

Si on ne peut plus déplacer la virgule, on ajoute autant de 0 que de déplacements restant à effectuer. On ajoute enfin un dernier 0 au début du nombre que l'on fait suivre de la virgule.

On veut calculer 6,74÷100.
On doit donc déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche, mais la partie décimale n'est formée que d'un seul chiffre. On ajoute donc un 0 avant le 6. On ajoute enfin un dernier 0 au début et on place la virgule :
6,74÷100=0,0674

B

Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001

Multiplier un nombre par 0,1 revient à le diviser par 10.

7 658×0,1=7 658÷10=765,8

Multiplier un nombre par 0,01 revient à le diviser par 100.

7 658×0,01=7 658÷100=76,58

Multiplier par 0,001 revient à diviser par 1000.

7 658×0,001=7,658÷1 000=7,658

C

Multiplier par décomposition

  • Multiplier par 4 revient à multiplier par 2 puis encore par 2.
  • Multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis diviser par 2.
  • Multiplier par 6 revient à multiplier par 2 puis par 3.
  • Multiplier par 8 revient à multiplier par 4 puis par 2.
  • Multiplier par 12 revient à multiplier par 6 puis par 2.
  • Multiplier par 15 revient à multiplier par 5 puis par 3.
  • Multiplier par 16 revient à multiplier par 4 puis encore par 4.
  • Multiplier par 18 revient à multiplier par 6 puis par 3.

15×4=15×2×2=30×2=60

65×5=65×10÷2=650÷2=325

75×6=75×2×3=150×3=450

42×8=42×4×2=168×2=336

  • Multiplier par 20 revient à multiplier par 2 puis par 10.
  • Multiplier par 30 revient à multiplier par 3 puis par 10.
  • Multiplier par 40 revient à multiplier par 4 puis par 10.
  • Multiplier par 50 revient à multiplier par 5 puis par 10.
  • Multiplier par 60 revient à multiplier par 6 puis par 10.
  • Multiplier par 70 revient à multiplier par 7 puis par 10.
  • Multiplier par 80 revient à multiplier par 8 puis par 10.
  • Multiplier par 90 revient à multiplier par 9 puis par 10.

45×20=45×2×10=90×10=900

11×60=11×6×10=66×10=660

II

Grouper intelligemment les termes d'un calcul

A

Grouper les termes d'une addition

Dans une addition, on peut inverser l'ordre des termes (on dit que l'addition est commutative) et les regrouper (on dit que l'addition est associative).

17+26=26+17

5+12+28+9+71+35=(12+28)+(5+35)+(9+71)=40+40+80=160

Cette propriété est très utile en calcul mental, pour regrouper les termes dont la somme est égale à un multiple de 10 ou dont la somme des parties décimales est égale à 1.

5,4+6,1+3,6+7,9=(5,4+3,6)+(6,1+7,9)=9+14=23

B

Grouper les termes d'une multiplication

Dans une multiplication, on peut inverser l'ordre des facteurs (on dit que la multiplication est commutative). Si le calcul ne comporte que des multiplications, on peut changer l'ordre des facteurs et les regrouper (on dit que la multiplication est associative).

1,25×6×4=1,25×45×6=5×6=30

Cette propriété est très utile en calcul mental, pour regrouper les facteurs dont le produit est égal à un multiple de 10 ou les décimaux dont le produit est égal à un nombre entier.

4×2×5×25=4×25100×5×2=100×5500×2=500×2=1 000

Il est pratique d'identifier les multiplications suivantes dans un calcul :

  • 2×0,5=1
  • 4×0,25=1
  • 8×0,125=1
  • 5×0,2=1

Les règles de commutativité et d'associativité ne sont valables que pour l'addition et la multiplication. Ce n'est pas le cas pour la soustraction et la division.

Dans la soustraction 48,124,2 on ne peut pas inverser les termes.

Dans la division 65÷25 on ne peut pas inverser 65 et 25.

III

Calculer un ordre de grandeur

A

Ordre de grandeur d'une somme

Ordre de grandeur d'une somme

Pour calculer rapidement une valeur approchée d'une somme, on peut remplacer les termes par des nombres proches et plus simples à additionner. Le résultat obtenu est un ordre de grandeur de la somme.

On souhaite calculer : 18+81+24

Une valeur approchée de cette somme est :

20+80+25=125

Il est possible de déterminer plusieurs ordres de grandeur d'une même somme. Cela dépend des nombres par lesquels on remplace.

Si on souhaite calculer 16+55+23 on peut écrire au choix :

  • 20+60+25=105
  • 15+50+20=85
B

Ordre de grandeur d'une différence

Ordre de grandeur d'une différence

Pour calculer rapidement une valeur approchée d'une différence, on peut remplacer les termes par des nombres proches et plus simples à soustraire. Le résultat obtenu est un ordre de grandeur de la différence.

On souhaite calculer : 2911.

Une valeur approchée de cette différence est :

3010=20

C

Ordre de grandeur d'un produit

Ordre de grandeur d'un produit

Pour calculer rapidement une valeur approchée d'un produit, on peut remplacer les facteurs par des nombres proches et plus simples à multiplier. Le résultat obtenu est un ordre de grandeur du produit.

On souhaite calculer : 19×9

Une valeur approchée de ce produit est :

20×10=200

D

Ordre de grandeur d'un quotient

Ordre de grandeur d'un quotient

Pour calculer rapidement une valeur approchée d'un quotient, on peut remplacer les termes par des nombres proches et plus simples à diviser. Le résultat obtenu est un ordre de grandeur du quotient.

Pour calculer 25,54÷4,685 on peut écrire 25÷5=5. Le résultat 5 est un ordre de grandeur du quotient.

On peut utiliser un ordre de grandeur pour vérifier la cohérence du résultat d'un calcul.

Si on calcule la somme 45,12+49,66+17, on peut déterminer un ordre de grandeur.

On a : 45+50+20=115. Donc par exemple, si en calculant, on trouve un résultat de 1544, il y a sûrement une erreur de calcul car ce résultat est très éloigné de l'ordre de grandeur.

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