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Décider si un échantillon est représentatif d'une population de départ

On dispose d'une population dans laquelle la fréquence d'apparition d'un caractère c est p. On prélève dans cette population un échantillon de taille n (la population est de taille suffisante pour considérer que les tirages sont indépendants).

On veut alors savoir si cet échantillon est représentatif de la population.

Une proportion \(\displaystyle{p=46}\) % de la population d'un pays vote lors d'une élection pour le candidat A. On considère un échantillon E de 100 habitants. Dans cet échantillon, 38 personnes votent pour le candidat A. Cet échantillon est-il représentatif de la population ?

Etape 1

Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%

On détermine l'intervalle I de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n.

Pour cela, on vérifie que les conditions suivantes sont remplies :

  • \(\displaystyle{n\geqslant 30}\)
  • \(\displaystyle{np\geqslant 5}\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant 5}\)

On a alors :

\(\displaystyle{I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]}\)

On a ici \(\displaystyle{n=100}\) et \(\displaystyle{p=0,46}\). Ainsi :

  • \(\displaystyle{n\geqslant 30}\)
  • \(\displaystyle{np=46}\), donc \(\displaystyle{np\geqslant5}\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-p\right)=100\times0,54=54}\), donc \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant 5}\)

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de vote pour le candidat A est :

\(\displaystyle{I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt{n}}\right]}\)

\(\displaystyle{I=\left[0,46-1,96\dfrac{\sqrt{0,46\left(1-0,46\right)}}{\sqrt{100}};0,46+1,96\dfrac{\sqrt{0,46\left(1-0,46\right)}}{\sqrt{100}}\right]}\)

On obtient :

\(\displaystyle{I=\left[0,362;0,558\right]}\)

Etape 2

Calculer la fréquence

On détermine la fréquence f d'apparition du caractère dans l'échantillon grâce aux informations fournies par l'énoncé.

Sur les 100 individus de l'échantillon, 38 votent pour le candidat A. La fréquence du caractère dans l'échantillon est donc :

\(\displaystyle{f=\dfrac{38}{100}=0,38}\)

Etape 3

Conclure

  • Si f appartient à I, on conclut, au niveau de confiance de 95%, que l'échantillon est représentatif.
  • Si f n'appartient pas à I, on conclut, au niveau de confiance de 95%, que l'échantillon n'est pas représentatif.

Comme 0,38 appartient bien à I, on peut conclure, au niveau de confiance de 95%, que l'échantillon est représentatif de la population.

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