Terminale ES 2016-2017

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Démontrer qu'une intégrale est positive ou négative

On peut dans certains cas déterminer le signe d'une intégrale de la forme \(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) sans avoir à la calculer explicitement. Pour cela, on doit déterminer le signe de la fonction f.

Déterminer le signe de l'intégrale suivante :

\(\displaystyle{\int_{2}^{5} x^2e^x \ \mathrm dx}\)

Etape 1

Déterminer le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\)

On détermine le signe de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\).

Pour tout réel x compris entre 2 et 5, on a :

  • \(\displaystyle{x^2\geqslant 0\\}\)
  • \(\displaystyle{e^x\geqslant 0}\)

Donc, par produit :

\(\displaystyle{\forall x\in\left[ 2;5 \right],\ x^2e^x\geqslant0}\)

Etape 2

Vérifier le sens des bornes

On vérifie que les bornes sont dans le bon sens, c'est-à-dire que a est inférieur ou égal à b.

On a bien \(\displaystyle{2\leqslant 5}\), donc les bornes sont dans le "bon sens".

Etape 3

Conclure sur le signe de l'intégrale

On applique la positivité de l'intégration :

  • Si f est positive sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), \(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) est positive.
  • Si f est négative sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), \(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) est négative.

Si le signe de f n'est pas constant sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), on ne poursuit pas cette méthode car elle ne permettra pas de conclure.

Comme \(\displaystyle{x\longmapsto x^2e^x}\) est positive sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[ 2;5 \right]}\), par positivité de l'intégration, on a :

\(\displaystyle{\int_{2}^{5} x^2e^x \ \mathrm dx\geqslant 0}\)