Terminale ES 2016-2017

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Reconnaître une fonction densité de probabilité

La fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle \(\displaystyle{I=\left[ a;b \right]}\) si et seulement si f est continue et positive ou nulle sur I, et si \(\displaystyle{\int_a^bf\left(x\right) dx= 1}\).

Montrer que la fonction f, définie sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right) = 2x}\) est une densité de probabilité.

Etape 1

Rappeler les conditions

On rappelle que la fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle \(\displaystyle{I=\left[ a;b \right]}\) si et seulement si :

  • f est continue sur I
  • f est positive ou nulle sur I
  • \(\displaystyle{\int_a^bf\left(x\right) dx= 1}\)

La fonction f est une densité de probabilité sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\) si et seulement si :

  • f est continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\)
  • f est positive ou nulle sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\)
  • \(\displaystyle{\int_0^1f\left(x\right) dx= 1}\)
Etape 2

Justifier que f est continue

On justifie que la fonction f est continue sur l'intervalle \(\displaystyle{I = \left[ a;b \right]}\) sur lequel elle est définie.

La fonction f est continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\) en tant que restriction d'une fonction affine sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\).

Etape 3

Justifier que f est positive

On démontre que, \(\displaystyle{\forall x \in I}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) \geq 0}\).

\(\displaystyle{\forall x \in \left[ 0;1 \right]}\), \(\displaystyle{2x \geq 0}\).

Donc la fonction f est positive ou nulle sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\).

Etape 4

Calculer l'intégrale

On calcule \(\displaystyle{\int_a^bf\left(x\right) dx}\).

On vérifie que cette intégrale vaut 1.

Si \(\displaystyle{I = \left[ 0;+\infty \right[}\), on ne sait pas calculer \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}f\left(t\right) dt}\), on calcule donc \(\displaystyle{\int_0^{x}f\left(t\right) dt}\) et on montre que \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty }\int_0^{x}f\left(t\right) dt = 1}\).

\(\displaystyle{\int_0^1f\left(x\right) dx= \int_0^12x dx}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{\int_0^1f\left(x\right) dx= \left[ x^2 \right]_0^1}\)

\(\displaystyle{\int_0^1f\left(x\right) dx=1^2-0^2}\)

\(\displaystyle{\int_0^1f\left(x\right) dx=1}\)

Etape 5

Conclure

Si la fonction f vérifie bien ces trois conditions, f est donc une densité de probabilité sur \(\displaystyle{I = \left[ a;b \right]}\).

Les trois conditions sont bien vérifiées. La fonction f est donc une densité de probabilité sur \(\displaystyle{\left[ 0;1\right]}\).