Terminale ES 2016-2017
Kartable
Terminale ES 2016-2017

Utiliser la formule des probabilités totales

On utilise la formule des probabilités totales pour calculer une probabilité p(F) lorsque la réalisation de F dépend de la réalisation d'autres événements.

Une usine fabrique 80% de composés A et 20% de composés B. Un centième des composés A et 5% des composés B sont défectueux.

On note :

  • A : "Le composé est de type A."
  • B : "Le composé est de type B."
  • D : "Le composé est défectueux."

Calculer p(D).

Etape 1

Dresser un arbre de probabilités

On dresse un arbre de probabilités correspondant à la situation. Ici, pour déterminer p(F) ou p(F), il est nécessaire d'utiliser la formule des probabilités totales car la réalisation de F (ou de F ) dépend de la réalisation de A, B ou C.

-

L'énoncé donne les probabilités suivantes :

  • p(A)=0,8
  • p(B)=0,2
  • pA(D)=0,01
  • pB(D)=0,05

On obtient donc l'arbre de probabilités suivant :

-
Etape 2

Déterminer une partition de l'univers

Les événements des branches issues de l'origine de l'arbre forment une partition de l'univers.

A et B forment ici une partition de l'univers.

Etape 3

Énoncer et développer la formule

On applique la formule des probabilités totales avec la partition de l'univers déterminée à l'étape précédente :

p(F)=p(FA)+p(FB)+p(FC)

On applique ensuite la formule des probabilités conditionnelles :

p(F)=pA(F)×p(A)+pB(F)×p(B)+pC(F)×p(C)

D'après la formule des probabilités totales, on a donc :

p(D)=p(DA)+p(DB)

Soit, d'après la formule des probabilités conditionnelles :

p(D)=pA(D)×p(A)+pB(D)×p(B)

Etape 4

Rappeler les probabilités connues

On rappelle la valeur des probabilités impliquées dans la formule déterminée à l'étape précédente. Ces probabilités sont données par l'énoncé ou lisibles sur l'arbre de probabilités.

Or, on sait que :

  • p(A)=0,8
  • p(B)=0,2
  • pA(D)=0,01
  • pB(D)=0,05
Etape 5

Effectuer le calcul

On remplace les probabilités par leurs valeurs dans la formule et on effectue le calcul.

Finalement :

p(D)=0,01×0,8+0,05×0,2

p(D)=0,008+0,01=0,018

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